线性代数(王定江)第2章答案资料下载.pdf

1、（1）12322106722,214310738AB+=+=12322152122;214310414AB=（2）（2）2（）+=AXBXO 123221144222（）.214310524333=+=+=XAB -2-（3）2,2+=+=XYAXYB 221123521111（2）2,310214414333XBA=123221425111（2）2.214310118333YAB=4.计算下列乘积矩阵：（1）1（123）21 12 23 314;3 =+=（2）11232（123）246;3369 =（3）2111451710122132175;4132118503=（4）123211212

2、1212;13214521 6814122212112183;1321214261840=原式（5）2001 20010003001 30010;001001001=（6）111213112321222323132333（）;aaaxxxxaaaxaaax 11 112213312321 122223331 132233322211 1222333122112133113233223（）（）（）（）;a xa xa xxxxa xa xa xa xa xa xa xa xa xaax xaax xaax x+=+=+原式 -3-（7）111213111213212223313233313233

3、212223100001;010aaaaaaaaaaaaaaaaaa=（8）11121311121213212223212222233132333132323310022102.0012aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=5.设有 3 阶方阵111111222222333333,acdbcdacdbcdacdbcd=AB,且|1,|2AB=,求|3|.+AB 解：111111111122222222223333333333344|3|3344344acdbcdabcdABacdbcdabcdacdbcdabcd+=+=+111111111111222222222222333333333

4、3334434444344164844344acdbcdacdbcdacdbcdacdbcdacdbcdacdbcd=+=+1648 2112.=+=6.已知103100021,021,001301=AB（1）求,;AB BA （2）22（）（）,;+ABABAB （3）比较（1）和（2）的结果,可以得出什么结论？解：（1）1031001003021021343,001301301AB=100103103021021043;3010013010BA=-4-（2）103100103100（）（）021021021021001301001301AB AB+=+203003906042000600,

5、302300609=22103103100100021021021021001001301301AB=106100006043343300;001601600=（3）因为 ABBA,所以 22（）（）.AB ABAB+7.设矩阵1032=A,求与 A可交换的矩阵.解：设11121222xxXxx=是与 A可交换的矩阵,那么 AXXA=,又因为 1112111221221121122210323232xxxxAXxxxxxx=+1112111212212221222232103232xxxxxXAxxxxx+=+,所以 11121112121121122221222232323232xxxxxx

6、xxxxxx+=+,即 -5-11111212121121212212222232323322xxxxxxxxxxxx=+=+=+=,求解得 1111122122112222033xxxxxxxx=,所以 1111222211220,.33xXxxRxxx=8.求下列矩阵的k次幂,其中k为正整数（1）cossin;sincos 解：因为 2cossincossincossincos2sin2=;sincossincossincossin2cos2 3cossincos2sin2cossincos3sin3=;sincossin2cos2sincossin3cos3 猜想 cossincossi

7、n=sincossincoskkkkk.下面用数学归纳法证明.当2k=时,结论成立.假设kn=时结论成立,那么当1kn=+时,1cossincossincossin=sincossincossincoscos（1）sin（1）=,sin（1）cos（1）nnnnnnnnn+所以 cossincossin=sincossincoskkkkk.（2）12;01 解：方法 1：因为 -6-21212121412 2;0101010101=31214121612 3;0101010101=猜想 12120101kk=.下面用数学归纳法证明.当2k=时,结论成立.假设kn=时结论成立,那么当1kn=+时

8、,1121212121212（1）;010101010101nnnn+=所以 12120101kk=.方法 2：令 0210,0001BE=,那么 120210010001BE=+=+,且00,200iBi=,另一方,根据 Newton 二项公式知 0（）kkiikiBEC BEkB=+=+,所以 121002100212010100010001kkkk=+=+=.（3）110011.001 解：因为 -7-2110110110121011011011012.001001001001=3110121110133133（3 1）/2011012011013013.001001001001001=

9、4110133110146144（4 1）/2011013011014014.001001001001001=猜想 1101（1）201101.001001kkk kk=下面用数学归纳法证明.当2k=时,结论成立.假设kn=时结论成立,那么当1kn=+时,11101（1）/211011（1）（1 1）201101011011.001001001001nnn nnnnnn+=+方法 2：令 010100001,010000001BE=,那么 110010100011001010001000001BE=+=+,且 2010010001001001000000000000B=,-8-30010100

10、00000000001000,000,4000000000000iBBi=,另一方,根据 Newton 二项公式知 20（1）（）2kkiikik kBEC BEkBB=+=+,所以 110100010001（1）0110100010002001001000000kk kk=+1（1）201001kk kk=.9.已知矩阵（）11123,1,23=令T,=A 求kA,其中 k为正整数.解：因为 T1（1,2,3）1 23,1 3=T111 21 32（1 1 21 3）212 3,333 21A =所以 11111 21 3（）33212 3.33 21kTTTTTkTkkAA =L 10.证

11、明任何一个方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.证明：设 A为任一方阵.令,2TAAB+=,2TAAC=显然,B 为对称矩阵,C为反对称矩阵,并且ABC=+.11.设,A B 为n阶对称矩阵,则 AB为对称矩阵当且仅当=ABBA 证明：因为 AB 为对称矩阵,所以（）,TTTABABB ABA=-9-反之,若,ABBA=那么（）,TTTABB ABAAB=因此 AB 为对称矩阵.12.设,A B 为n阶矩阵,且 A为n阶对称矩阵,证明TB AB也是对称矩阵.证明：因为 T（）（）TTTTTTB ABB ABB AB=,所以TB AB也是对称矩阵.13.设 A是n阶方阵,且满足T=A

12、AE 和|1=A,证明：|0+=AE.证明：因为（）TTTAEAAAA EAA EAEAAE+=+=+=+=+=+所以0AE+=.14.求下列矩阵的逆矩阵（1）12;21 解：11212121213=.（2）100210;321 解：1100100210210321121=.（3）122212;221 解：因为 -10-12221227,221=1 11112（1）3,21A+=1 21222（1）6,21A+=1 31321（1）6,22A+=2 12122（1）6,21A+=2 22212（1）3,21A+=2 32312（1）6,22A+=3 13122（1）6,12A+=3 23212

13、（1）6,22A+=3 33312（1）3,21A+=所以 112212212122129221221=.（4）120230.005 解：因为 1201223055.23005=1 11130（1）15,05A+=1 21220（1）10,05A+=1 31323（1）0,00A+=2 12120（1）10,05A+=2 22210（1）5,05A+=2 32312（1）0,00A+=3 13120（1）0,30A+=3 23210（1）0,20A+=3 33312（1）1,23A+=所以 1120151003201230105021050050010501=.方法 2：令 -11-11221

14、20230005AOOA=,其中112212,5.23AA=因为 1111123232,232121A=221,5A=所以 1111122120320230210.005001 5AOOA=15.设100230,456=A*A 是 A的伴随矩阵,求*1（）.A 解：因为*AAA E=,且18A=,所以*1100230.45611（）18AAA=16.设,+A B AB 都 是 可 逆 矩 阵,证 明：11+AB也 可 逆,且1111（）（）.+=+ABA ABB 证明：因为,A B AB+都是可逆矩阵,所以 11111111111（）（）（）（）（）（）（）（）.ABA ABBEB A ABB

15、B BB A ABBBBA ABBB BE+=+=+=+=即1111（）（）.ABA ABB+=+17.解下列矩阵方程：（1）32213.21314=X 解：因为 -12-1321212212323=,所以 13221312213435.2131423314556X=（2）200112010.212201=X 解：因为 120000101002022012012=,所以 120000112112101002021221222012021X=24121.6243125 225=（3）121431.341201=X 解：因为 11242134312=,11424112116=,所以 11123114423124134011231011112X=1262430421521111.94112232111612126=18.设矩阵300141203=A,已知2=+ABAB,求B.-13-解：因为22ABABAEB=+=+,所以 1（2）BAEA=,又因为 111002001（2）1211112201402AE=,所以 120030060030011（2）111141242121.2240220