概率论与数理统计(文科)吴传生7.2节PPT推荐.ppt

1、Ch7-46 7.2 7.2 点估计的评价标准点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量应该选用哪一种估计量?#用何标准来评价一个估计量的好坏用何标准来评价一个估计量的好坏?#常用常用标准标准（1）无偏性（3）一致性（2）有效性7.27.2Ch7-47若 则称是 的无偏估计量.无偏性无偏性无偏定义定义我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性Ch7-48是总体X 的样本,证明:#不论 X 服从什么分布（但期望存在）,是的无偏估计量.证证例例1 1 设总体X 的 k 阶矩存在因

2、而由于例1则Ch7-49特别地 样本二阶原点矩 是总体是总体期望 E（X）的样本均值无偏估计量的无偏二阶原点矩估计量Ch7-50例例2 2 设总体 X 的期望 与方差存在,X 的样本为 （n 1）.（1）不是 D（X）的无偏估量;#（2）是 D（X）的无偏估计量.证证前已证证明例2Ch7-51因而故 证毕.Ch7-52例例3 3 设是总体 X 的一个样本,XB（n,p）n 1,求 p 2 的无偏估计量.解解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.令例3Ch7-53因此

3、,p 2 的无偏估计量为故Ch7-54例例4 4 设总体 X 的密度函数为为常数为 X 的一个样本证明与都是 的无偏估计量证证 故是 的无偏估计量.例4Ch7-55令即故 n Z 是 的无偏估计量.Ch7-56都是总体参数 的无偏估计量,且则称 比 更有效.定义定义 设有效性有效性有效Ch7-57所以,比更有效.是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？#由例4可知,与 都为常数例例5 5 设总体 X 的密度函数为解解 ，例5Ch7-58例例6 6 设总体 X，且 E（X）=,D（X）=2 为总体 X 的一个样本证明是 的无偏估计量（2）证明比更有效证证 （1）例6（1）设常数Ch7-59（2）而

4、结论结论算术均值比加权均值更有效.Ch7-60例如 X N（,2）,（X 1,X 2）是一样本.都是 的无偏估计量由例6（2）知最有效.Ch7-61定义定义 设 是总体参数 则称是总体参数 的一致（或相合）估计量.的估计量.若对于任意的 ,当n 时,一致性一致性依概率收敛于,即一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.一致Ch7-62关于一致性的两个常用结论关于一致性的两个常用结论 1.样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.是 的一致估计量.由大数定律证明由大数定律证明用切贝雪夫不用切贝雪夫不 等式证明等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下,极大似然估计具有

5、一致性2.设 是 的无偏估计 量,且 ,则Ch7-63例例8 8为常数则 是 的无偏、有效、一致估计量.证证 由例7 知 是 的无偏、有效估计量.所以 是 的一致估计量,证毕.例8Ch7-64作业 P.156 习题7-21 2 6习题补充题补充题 设总体 X N（,2）,为 X 的一个样本,常数 k 取何值可使为 的无偏估计量Ch7-65 第十四周第十四周 问问 题题母亲嗜酒是否影响下一代的健康母亲嗜酒是否影响下一代的健康 美美国国的的Jones医医生生于于1974年年观观察察了了母母亲亲在在妊妊娠娠时时曾曾患患慢慢性性酒酒精精中中毒毒的的6名名七七岁岁儿儿童童（称称为为甲甲组组）.以以母母亲

6、亲的的年年龄龄，文文化化程程度度及及婚婚姻姻状状况况与与前前6名名儿儿童童的的母母亲亲相相同同或或相相近近，但但不不饮饮酒酒的的46名名七七岁岁儿儿童童为为对对照照租租（称称为为乙乙组组）.测测定定两两组组儿儿童童的的智智商商，结果如下：#结果如下：#每周一题14Ch7-66甲 组 6 78 19乙 组 46 99 16人数智商平均数样本标准差智商组别 由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一代的智力？#若有影响，推断其影响程度有多大?#提示提示 前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题Ch7-67 智商一般受诸多因素的影响.从而可以 本问题实际是检验甲组总体的均值是否比乙组总体的均值偏小?#若

7、是，这个差异范围有多大?#前一问题属假设检验，后一问题属区间估计.解解假定两组儿童的智商服从正态分布.Ch7-68 由于两个总体的方差未知，而甲组的样本容量较小，因此采用大样本下两总体均值比较的U检验法似乎不妥.故当 为真时，统计量 采用方差相等（但未知）时，两正态总体均值比较的t检验法对第一个问题作出回答.为此,利用样本先检验两总体方差是否相等，即检验假设Ch7-69拒绝域为 Ch7-70未落在拒绝域内，故接受 .即可认为两总体方差相等.下面用 t 检验法检验 是否比 显著偏小？#即检验假设当 为真时，检验统计量 Ch7-71其中 嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响.落在拒绝域内，故拒绝 .即

8、认为母亲Ch7-72 下面继续考察这种不良影响的程度.为此要对两总体均值差进行区间估计.取 于是置信度为 99%的置信区间为 Ch7-73由此可断言：#在99%的置信度下，嗜酒母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要低 2.09 到 39.91.Ch7-74 故限制显著性水平的原则体现了“保护零假设”的原则.注注 大家是否注意到，在解决问题时，两次假设检验所取的显著性水平不同.前者远在检验方差相等时，取 ;#在检验均值是否相等时取 .比后者大.为何这样取呢?#因为检验的结果与检验的显著性水平 有关.小，则拒绝域也会小，产生的后果使零假设难以被拒绝.Ch7-75 在

9、较大时,若能接受 ,说明为真的依据很充足;#同样，在 很小时，我们仍然拒绝 .说明 不真的理由就更充足.说明在所给数据下，得出相应的本例中,对 ,仍得出 可被接受,及对 ,可被拒绝的结论.结论有很充足的理由.Ch7-76 另外在区间估计中，取较小的置信 若反之,取较大的置信水平，则可水平 （即较大的置信度）,从而使得区间估计的范围较大.减少估计区间的长度，使区间估计精确提高，但相应地区间估计的可靠度降低了，即要冒更大的风险.Ch7-77解解注意到是 X1,X2,Xn 的线性函数,补充题补充题补充题 设总体 X N（,2）,为 X 的一个样本,常数 k 取何值可使为 的无偏估计量Ch7-78 Ch7-79故Ch7-80