1、05,元素的指数,有意义,据此,可定义群的元素的指数:设,为正整数,则规定:,显然有,,,其中,为任意整数.,2022/11/2 03:05,定义1,的最小正整数,;若不存在这样的,显然,群中单位元的阶为1,其他元的阶,为无限.,都大于1,,2022/11/2 03:05,例1,关于数的普通乘法做成,4次单位根群.,2022/11/2 03:05,例2,正有理数乘群,单位元的阶是1,,其他元的阶均为无限.,例3 非零有理数乘群,1的阶是1,,-1的阶是2,,其余元的阶均为无限.,2022/11/2 03:05,定理1,有限群,中每个元素的阶均有限.,,在,中必有相等的.设,则,,从而阶有限.,
2、证明:设,2022/11/2 03:05,注:,无限群中元素的阶可能无限,也可能有限,,关于普通乘法作成无限交换群,,甚至可能都有限.,例4,,则,其中每个元素的阶都有限.,2022/11/2 03:05,定理2,证明:令,,,,则,.,.,(2)若,2022/11/2 03:05,定理3,若群中,,则,设,,则,证明:,2022/11/2 03:05,两个推论:,推论1 在群中,若,则,,其中s,t 均为正整数.,推论2 在群中,若,,则,2022/11/2 03:05,定理4,证明:,,于是,若,2022/11/2 03:05,例5|ab|一定等于|a|b|吗?,是有理数域Q上的全体二阶满秩,方阵关于矩阵乘法做成的群.,2022/11/2 03:05,思考题:,设G是群,且|G|1.证明:若G中除e外其余元素的阶都相同,则这个相同的阶不是无限,就是素数.,