可定义群的元素的指数_精品文档PPT课件下载推荐.ppt

可定义群的元素的指数_精品文档PPT课件下载推荐.ppt

《可定义群的元素的指数_精品文档PPT课件下载推荐.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《可定义群的元素的指数_精品文档PPT课件下载推荐.ppt（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

05,元素的指数,有意义，据此,可定义群的元素的指数:

设,为正整数,则规定:

显然有，,，其中,为任意整数.,2022/11/203:

05,定义1,的最小正整数,；

若不存在这样的,显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶,为无限.,都大于1，,2022/11/203:

05,例1,关于数的普通乘法做成,4次单位根群.,2022/11/203:

05,例2,正有理数乘群,单位元的阶是1，,其他元的阶均为无限.,例3非零有理数乘群,1的阶是1，,-1的阶是2，,其余元的阶均为无限.,2022/11/203:

05,定理1,有限群,中每个元素的阶均有限.,，在,中必有相等的.设,则,，从而阶有限.,证明：

设,2022/11/203:

05,注：

无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，,关于普通乘法作成无限交换群，,甚至可能都有限.,例4,，则,其中每个元素的阶都有限.,2022/11/203:

05,定理2,证明：

令,，,，则,.,.,

（2）若,2022/11/203:

05,定理3,若群中,，则,设,，则,证明：

2022/11/203:

05,两个推论：

推论1在群中，若,则,，其中s，t均为正整数.,推论2在群中，若,，则,2022/11/203:

05,定理4,证明：

，于是,若,2022/11/203:

05,例5|ab|一定等于|a|b|吗？

是有理数域Q上的全体二阶满秩,方阵关于矩阵乘法做成的群.,2022/11/203:

05,思考题：

设G是群，且|G|1.证明：

若G中除e外其余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无限，就是素数.,