1、2数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系,如果可用一个公式anf(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式3在数列an中,前n项和Sn与通项an的关系为: 4求数列的通项公式的其它方法 公式法:等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法 观察归纳法:先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式,再取n的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法:先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式.典型例题例1. 根据下面各数列的前n项的值,写出数列的一个通项公式 ,;
2、 1,2,6,13,23,36,; 1,1,2,2,3,3,变式训练1.某数列an的前四项为0,0,则以下各式: an1(1)n an an 其中可作为an的通项公式的是( )ABCD例2. 已知数列an的前n项和Sn,求通项 Sn3n2 Snn23n12:已知数列an的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn1)n,(nN*),则数列an的通项公式为 例3. 根据下面数列an的首项和递推关系,探求其通项公式 a11,an2an11 (n2) a11,an (n2) a11,an (n2)3.已知数列an中,a11,an1(nN*),求该数列的通项公式方法二:求出前5项,归纳猜想出an,然后用数学归
3、纳证明例4. 已知函数2x2x,数列an满足2n,求数列an通项公式4.知数列an的首项a15前n项和为Sn且Sn12Snn5(nN*)(1) 证明数列an1是等比数列;(2) 令f (x)a1xa2x2anxn,求函数f (x)在点x1处导数f 1 (1)归纳小结1根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等.2由Sn求an时,用公式anSnSn1要注意n2这个条件,a1应由a1S1来确定,最后看二者能否统一3由递推公式求通项公式的常见形式有:an1anf(n),f(n),an1panq,分别用累加法、累乘法、迭代
4、法(或换元法)第2课时 等差数列1等差数列的定义: d(d为常数)2等差数列的通项公式: ana1 d anam 3等差数列的前n项和公式:Sn 4等差中项:如果a、b、c成等差数列,则b叫做a与c的等差中项,即b 5数列an是等差数列的两个充要条件是: 数列an的通项公式可写成anpnq(p, qR) 数列an的前n项和公式可写成Snan2bn (a, bR)6等差数列an的两个重要性质: m, n, p, qN*,若mnpq,则 数列an的前n项和为Sn,S2nSn,S3nS2n成 数列例1. 在等差数列an中,(1)已知a1510,a4590,求a60;(2)已知S1284,S20460
5、,求S28;(3)已知a610,S55,求a8和S8变式训练1.在等差数列an中,a53,a62,则a4a5a10 例2. 已知数列an满足a12a,an2a(n2)其中a是不为0的常数,令bn 求证:数列bn是等差数列 求数列an的通项公式2.已知公比为3的等比数列与数列满足,且,(1)判断是何种数列,并给出证明;(2)若,求数列的前n项和例3. 已知an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S77,S1575,Tn为数列前n项和。求Tn3两等差数列an、bn的前n项和的比,则的值是 ( )A B C D例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案:一是每年年末加1000美元;二是每半年结束
6、时加300美元问: 从第几年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多? 如果在该公司干10年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元? 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元问a取何值时,总是选择第二种方案比第一种方案多加工资?变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中
7、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?1欲证an为等差数列,最常见的做法是证明:an1and(d是一个与n无关的常数)2a1,d是等差数列的最关键的基本量,通常是先求出a1,d,再求其他的量,但有时运算较繁3对等差数列an的最后若干项的求和,可以把数列各项的顺序颠倒,看成公差为d的等差数列进行求和4遇到与等差数列有关的实际问题,须弄清是求项的问题还是求和的问题第3课时 等比数列1等比数列的定义:q(q为不等于零的常数)2等比数列的通项公式: ana1qn1 anamqnm 3等比数列的前n项和公式: Sn 4等比中项:如果a,b,c成等比数列,那么b叫做a与c的等比中项,即b2
8、(或b )5等比数列an的几个重要性质: m,n,p,qN*,若mnpq,则 Sn是等比数列an的前n项和且Sn0,则Sn,S2nSn,S3nS2n成 数列 若等比数列an的前n项和Sn满足Sn是等差数列,则an的公比q 例1. 已知等比数列an中,a1an66,a2an1128,Sn126,求项数n和公比q的值变式训练1.已知等比数列an中,a1a964,a3a720,则a11 例2. 设等比数列an的公比为q(q0),它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项2.已知等比数列an前n项和Sn2n1,an2前n项和为Tn,求Tn的表达式例3. 有四
9、个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数3.设是等差数列的前项和,则等于( )A. 15 B. 16 C. 17 D. 18例4. 已知函数f(x)(x1)2,数列an是公差为d的等差数列,数列bn是公比为q的等比数列(q1),若a1f(d1),a3f(d1),b1f(q1),b3f(q1),(1) 求数列an,bn的通项公式;(2) 设数列cn对任意的自然数n均有:,求数列cn前n项和Sn变式训练4.已知等差数列an的首项a11,公差d0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列bn的第二项,第三项,第四项求
10、数列an与bn的通项公式;设数列cn对任意正整数n,均有,求c1c2c3c2007的值1在等比数列的求和公式中,当公比q1时,适用公式Sn,且要注意n表示项数;当q1时,适用公式Snna1;若q的范围未确定时,应对q1和q1讨论求和2在等比数列中,若公比q 0且q1时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项3若有四个数构成的函数,前三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设这四个数,一般是设为xd,x,xd,再依题意列出方程求x、d即可4a1与q是等比数列an中最活跃的两个基本量第4课时 等差数列和等比数列的综合应用1等差数列的常用性质: m,n,p,rN*,若mnpr,则有 an是等差数列, 则akn (kN*,k为常数)是 数列 Sn,S2nSn,S3nS2n构成 数列2在等差数列中,求Sn的最大(小)值,关键是找出某一项,使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面的各项皆取负(正)值 a1 0,d 0时,解不等式组 可解得S
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