专题复习教案——数列(学生用)文档格式.doc

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2．数列的通项公式

一个数列{an}的与之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f（n）来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：

4．求数列的通项公式的其它方法

⑴公式法：

等差数列与等比数列采用首项与公差（公比）确定的方法．

⑵观察归纳法：

先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；

初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．

⑶递推关系法：

先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

典型例题

例1.根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．

⑴－，，－，…；

⑵1，2，6，13，23，36，…；

⑶1，1，2，2，3，3，

变式训练

1.某数列{an}的前四项为0，，0，，则以下各式：

①an＝[1＋（－1）n]

②an＝

③an＝

其中可作为{an}的通项公式的是 （）

A．① B．①②

C．②③ D．①②③

例2.已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．

⑴Sn＝3n－2

⑵Sn＝n2＋3n＋1

2：

已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg（Sn－1）＝n，（n∈N*），则数列{an}的通项公式为．

例3.根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．

⑴a1＝1，an＝2an－1＋1（n≥2）

⑵a1＝1，an＝（n≥2）

⑶a1＝1，an＝（n≥2）

3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝（n∈N*），求该数列的通项公式．

方法二：

求出前5项，归纳猜想出an＝，然后用数学归纳证明．

例4.已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式．

4.知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．

（1）证明数列{an＋1}是等比数列；

（2）令f（x）＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f（x）在点x＝1处导数f1

（1）．

归纳小结

1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.

2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一．

3．由递推公式求通项公式的常见形式有：

an＋1－an＝f（n），＝f（n），an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．

第2课时等差数列

1．等差数列的定义：

－＝d（d为常数）．

2．等差数列的通项公式：

⑴an＝a1＋×

d

⑵an＝am＋×

3．等差数列的前n项和公式：

Sn＝＝．

4．等差中项：

如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝．

5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：

⑴数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q（p,q∈R）

⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn

（a,b∈R）

6．等差数列{an}的两个重要性质：

⑴m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．

⑵数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．

例1.在等差数列{an}中，

（1）已知a15＝10，a45＝90，求a60；

（2）已知S12＝84，S20＝460，求S28；

（3）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝．

例2.已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．

⑴求证：

数列{bn}是等差数列．

⑵求数列{an}的通项公式．

2.已知公比为3的等比数列与数列满足，且，

（1）判断是何种数列，并给出证明；

（2）若，求数列的前n项和

例3.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。

求Tn．

3．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（）

A．B．C．D．

例4.美国某公司给员工加工资有两个方案：

一是每年年末加1000美元；

二是每半年结束时加300美元．问：

⑴从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？

⑵如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？

⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．

问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？

变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米?

（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：

an＋1－an＝d（d是一个与n无关的常数）．

2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．

3．对等差数列{an}的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．

4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．

第3课时等比数列

1．等比数列的定义：

＝q（q为不等于零的常数）．

2．等比数列的通项公式：

⑴an＝a1qn－1⑵an＝amqn－m

3．等比数列的前n项和公式：

Sn＝

4．等比中项：

如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝（或b＝）．

5．等比数列{an}的几个重要性质：

⑴m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．

⑵Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．

⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝．

例1.已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．

变式训练1.已知等比数列{an}中，a1·

a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝．

例2.设等比数列{an}的公比为q（q>

0），它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．

2.已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．

例3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

3.设是等差数列的前项和，，则等于（）

A.15B.16C.17D.18

例4.已知函数f（x）＝（x－1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列（q≠1），若a1＝f（d－1），a3＝f（d＋1），b1＝f（q－1），b3＝f（q＋1），

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设数列{cn}对任意的自然数n均有：

，求数列{cn}前n项和Sn．

变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>

0，且第二项，第五项，第十四项分别是

等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．

⑴求数列{an}与{bn}的通项公式；

⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3＋…＋c2007的值．

1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝，且要注意n表示项数；

当q＝1时，适用公式Sn＝na1；

若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．

2．在等比数列中，若公比q>

0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．

3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x－d，x，x＋d，再依题意列出方程求x、d即可．

4．a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．

第4课时等差数列和等比数列的综合应用

1．等差数列的常用性质：

⑴m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有．

⑵{an}是等差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）是数列．

⑶Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成数列．

2．在等差数列中，求Sn的最大（小）值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正（负）值或0，而它后面的各项皆取负（正）值．

⑴a1>

0，d<

0时，解不等式组可解得S