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1、7.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：（1）前提：pq, 一 （q r）,r结论：一 p（2）前提：q p,qs,s = t,t rp q8.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：前提：p （q r）,s p,qs_. r9.在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：p、q, q,r - s_ p参考答案：1.（1）pV （q A r） = 0V （0 A 1） = 0（2） （ p? r ）A （qV s）二（0? 1）A （1 V 1）二 0A 1= 0（3） （一 pA 一 qA r） ? （p A qAr）二 （1 A 1 A 1） ? （0 A 0A 0）=0（4）（一 r

2、 A s） （p A - q）二 （0A 1） （1 A 0）二 00= 12.p:二是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s: 6能被2整除1t: 6能被4整除 0命题符号化为：pA （qr） A （t s）的真值为1,所以这一段的论述为真。3. （1）pqpq_q_p_q_ p（pq）（一 q一 p）1所以公式类型为永真式（2）公式类型为可满足式（方法如上例）（3）公式类型为永真式（方法如上例）4. （2） （p（pV q）V （pr）= （一pV （pV q） V （一 pV r）= _ pV pV q V r= 1（3） P q r p V q p A r （pV q）

3、（pA r）0 0 0 0 0 1所以公式类型为可满足式5.证明（1） （p q） A （pr）（pV q） A （ pV r）一PV （q A r）:二 p （q A r）（2）（p A - q） V （ 一 pA q） = （p V （ 一 pA q） A（ - qV （ 一 pA q）二（p V 一 p） A （p V q） A （一 qV_ p） A（_ qV q）二 1 A （p V q） A 一 （p A q） A 1=（p V q） A - （p A q）（1）主析取范式（一 p q） （一 q p）二（p /q） ”（qwp）=（一 P _q） （ 一 q p）-（_p _q）

4、 （一q p） （q _p） （p q） （p _q）u （ p _q） （p _q） （p q）=m0 m2 m3-刀（0,2,3）主合取范式：（_pq） Lq p）=（p 口）qwp）=（一p _q） （一q p）=（p （ q p） （ q （ 一 q p）=1 （p - q）：=（p _q） ：= M1二n（2）主合取范式为:（p q） q r = 一（ 一 p q） q r-（p q） q r = 0所以该式为矛盾式主合取范式为n（0,1,234,5,6,7）矛盾式的主析取范式为0（3）主合取范式为：（P （q r） （p q r）二 _（p （q r） （p q r）=（一 p （

5、 一 q - r） （p q r）u （ 一 p （p q r） （ 一 q 一 r） （p q r）二 1 1-1所以该式为永真式永真式的主合取范式为1主析取范式为刀（0,1,2,3,4,5,6,7）7.证明：（1） 一 （q r）前提引入一q 一r置换q _r蕴含等值式rq拒取式 p； qp （3）拒取式证明（2）:t rt化简律q sSi tq t等价三段论（q； t）（t ； q） 置换S qt）化简q假言推理 q； pp假言推理（11）P q合取8.证明s附加前提引入Sr PP假言推理p； （q ；r）前提引入q- r假言推理qr假言推理9.证明：p结论的否定引入 p q厂qr qr

6、化简律r s化简律r r合取由于最后一步r r是矛盾式,所以推理正确.第二章部分习题及参考答案1.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为（a）,（b）条件时命 题的真值：（1）对于任意x,均有務r2=（x+廡）（x T爲）.（2）存在x,使得x+5=9.其中（a）个体域为自然数集合.（b）个体域为实数集合.2.在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）没有不能表示成分数的有理数（2）在合肥卖菜的人不全是外地人.3.在一阶逻辑将下列命题符号化：（1） 火车都比轮船快（3）不存在比所有火车都快的汽车4.给定解释I如下：（a）个体域D为实数集合R.（b）D 中特定元素：=0.（c）特定

7、函数 _（x,y）=x y,x,y D .（d）特定谓词 W（x,y）:x=y, （x,y）:x G（x, y）5.给定解释I如下：（a）个体域D=N（N为自然数集合）.（b）D中特定元素：=2.（c）D 上函数也迫）=x+y, （x,y）=xy.（d）D 上谓词 E（x,y）:x=y.说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值.（1）xF（g（x,a）,x）（2）x y（F（f（x,a）,y） -F（f（y,a）,x）6.判断下列各式的类型：? . - : _ 1（2）- - - - yF（x,y）.7.给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。（1）,（F（x）呛（幼（2）（F（x） G（

8、x） H（x）8.给定解释I如下：（a）个体域 D=3,4;（b）f（x）为 f（3） =4,f （4） =3（c）F（x, y）为F（3,3） =F（4,4） =0, F（3,4） = F（4,3） = 1.试求下列公式在I下的真值（1） -x yF（x,y）（3）-x-y（F（x,y） F（f（x）, f（y）9.求下列各式的前束范式。（1）-xF（x） r . yG（x, y）（2）XjF（X1,X2） （H（xJ - X2G（xX2）10.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明：xF（x） -y（F（y） G（y） R（y）, xF（x）xR（x）-x（F（x） -（G（a） A R

9、（x）, : xF（x）结论:（F（x） A R（x）1.解：F（x）: v =2=（x+媚）（x =鼻）.G（x）: x+5=9.（1）在两个个体域中都解释为_xF（x），在（a）中为假命题，在（b）中为真命题。 在两个个体域中都解释为 xG（x），在（a） （b）中均为真命题。2.解:（1）F（x）: x 能表示成分数H（x）: x 是有理数命题符号化为：一 x（ F（x） H（x）（2）F（x）: x 是合肥卖菜的人 x 是外地人一-x（F（x） H（x）3.解： x 是火车； x 是轮船；H（x,y）: x 比 y 快-x-y（F（x） G（y）_； H （x, y）（1）F（x）:

10、x 是火车; x 是汽车; x 比y快命题符号化为:-y（G（y） -x（F（x）_； H （x, y）4.答:（1）对于任意两个实数x,y,如果xy,那么x = y.真值1.（2）对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么x （qp）二p （q p）二1 为永真式；所以 愍磁p ：區羸能弋JX*磁ji为永真式；（2）取解释I个体域为全体实数F（x,y） : x+y=5所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真；后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假，此时为假命题再取解释I个体域为自然数N,x+y=5所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假。此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。7.解:（1）个体域:本班同学F（x） : x会吃饭,G（x） : x会睡觉.成真解释 x是合肥人,G（x） : x是巢湖人.成假解释（2）个体域:计算机学院的学生