1、 正确理解根及系数的关系,掌握配方思想,把某些代数式配成两根和及积的形式才能将系数代入。【典型例题】 例1. 已知方程的一个根是,求它的另一个根及b的值。 分析:含字母系数的一元二次方程中,若已知它的一个根,往往由韦达定理可求另一根,并确定字母系数的值。 解:(方法一)设方程的另一根为,则由方程的根及系数关系得: 解得: (方法二)由题意: 根据韦达定理设另一根为x,则 点拨:解法一较简单,主要原因是突出了求解的整体性。 例2. 已知方程的两根为,求下列代数式的值: (1);(2);(3)分析:若方程两根,则不解方程,可求出关于的对称式的值,只须将其配成含有、的形式。由已知,根据韦达定理 (1
2、) (2) (3) 点拨:体会配方思想,将代数式配成含有的形式,再代系数即可。 例3. 已知:是两个不相等的实数,且满足,那么求的值。由两个条件可得出为方程的两不等实根,再对所求代数式配方变形。解:由题意,为的两个不等实根 因而有 又善于转化未见过的题,充分挖掘已知条件。 例4. 已知关于x的一元二次方程及有一个相同的根,求k的值。(解法一)设方程两根、,方程的两根,则有: 由 当时,代入 当时,由 代入 则 把代入中, 或 (解法二)将及相减得: 此时方程根为0或,即题中两方程相同根为0或 (1)若是0则; (2)若是,则;两种解法各有千秋,一运用了解方程组思想,二运用了“若方程及有公共根,
3、则公共根必满足方程”的结论。 例5. 已知方程 (1)若方程两根之差为5,求k。 (2)若方程一根是另一根2倍,求这两根之积。对含字母系数的一元二次方程,可根据题设中方程根及系数关系,确定方程系数字母的值。(1)设方程两根及,由韦达定理知: (2)设方程两根,由根系关系知:已知两根的关系,应用韦达定理解决系数求值问题。 例6. 已知方程两根之比为1:3,判别式值为16,求a、b的值。必用判别式,又韦达定理知,显然可求a、b。设已知方程的两根为m,3m 由韦达定理知: 即 把代入 得:把判别式、韦达定理综合出题,更易贯通新旧知识。 例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。 (1)用含m的
4、代数式表示; (2)当时,求m的值。应注意,即可用根系关系。(1)由题意: (2)由(1)得: 检验:当时,原方程无实根。 舍去 当时,原方程有实根。 易忽略检验,要学会灵活应用一元二次方程有关概念,及判别式,根系关系。 例8. 已知方程的两根为,求一个一元二次方程,使它两根为和。所求方程,只要求出的值即可,转化成例2类型了。设所求一元二次方程为 为方程的两根 由韦达定理 所求一元二次方程为 即:应用根系关系构造方程,如果方程有两实根,那么方程为,当为分数时,往往化成整系数方程。总结扩展 1. 一元二次方程根及系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和及积和系数之间的关系,是我
5、们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,必须熟记,为进一步使用打下基础。 2. 以一元二次方程根及系数的关系的探索及推导,向学生展示认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探索的精神,借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。 3. 本节课学习了根及系数的关系的应用,主要有如下几方面:(1)验根;(2)已知方程的一根,求另一根;(3)求某些代数式的值;(4)求作一个新方程 4. 通过根及系数的关系的应用,能较好地熟悉和掌握了根及系数的关系,由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。【模拟试题】(答题时间:40分钟)一. 选择题。 1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根,则k及另一根分别
6、为( ) A. 2,-1 B. -1,2 C. -2,1 D. 1,-2 2. 已知方程的两根互为相反数,则m的值是( A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 3. 若方程有两根,一根大于1,一根小于1.则k的取值范围是( A. B. C. D. 4. 若方程的两根中,只有一个是0,那么( B. D. 不能确定 5. 方程的大根及小根之差等于( 6. 以为根的,且二次项系数为1的一元二次方程是(二. 填空题。 7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数,则m_。 8. 已知一元二次方程两根比2:3,则a,b,c之间的关系是_。 9. 已知方程的两根,且,则_。 10. 已知是方程的两根,不解
7、方程可得:_,_,_。 11. 已知,则以为根的一元二次方程是_。三. 解答题。 12. 已知方程的两个实根中,其中一个是另一个的2倍,求m的值。 13. 已知方程的两根不解方程,求和的值。 14. 已知方程的两根,求作以为两根的方程。 15. 设是方程的两个实根,且两实根的倒数和等于3,试求m的值。【试题答案】1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B 7. 8. 设,则 9. 时,原方程0,故舍去, 10. 11. 由此 所求方程或 12. 解:设方程的一个根为x,另一根2x 由根系关系知:解得: 13. 解:由题设条件 14. 解:由题意 故所求方程是,即 15. 解: 不符合题意,舍去【励志故事】果断有一个6岁的小男孩,一天在外面玩耍时,发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地,从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩决定把它带回家喂养。当他托着鸟巢走到家门口的时候,他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物。于是,他轻轻地把小麻雀放在门口,急忙走进屋去请求妈妈。在他的哀求下妈妈终于破例答应了。小男孩兴奋地跑到门口,不料小麻雀已经不见了,他看见一只黑猫正在意犹未尽舔着嘴巴。小男孩为此伤心了很久。但从此他也记住了一个教训:只要是自己认定的事情,决不可优柔寡断。这个小男孩长大后成就了一番事业,他就是华裔电脑名人王安博士。
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