1、性质4中,“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除,但不能被乘积48整除,这就是因为6与8不互质,6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质,它们的最小公倍数是bc.事实上,根据性质4,我们常常运用如下解题思路:要使a被bc整除,如果b与c互质,就可以分别考虑,a被b整除与a被c整除.能被2,3,4,5,8,9,11整除的数都是有特征的,我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征(1)能被2整除的数的特征:如果一个整数的个位数是偶数,那么它必能被2整除.(2)能被5整除的数的特征:如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能
2、被5整除.(3)能被3(或9)整除的数的特征:如果一个整数的各位数字之和能被3(或9)整除,那么它必能被3(或9)整除.(4)能被4(或25)整除的数的特征:如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25)整除.(5)能被8(或125)整除的数的特征:如果一个整数的末三位数能被8(或125)整除,那么它必能被8(或125)整除.(6)能被11整除的数的特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除,那么它必能被11整除.例1:四位数7a4b能被18整除,要是这个四位数尽可能的小,a和b是什么数字?解:18=29,并且2与9互质,根据前面的性质4
3、,可以分别考虑被2和9整除.要被2整除,b只能是0,2,4,6,8.再考虑被9整除,四个数字的和就要被9整除,已有7+4=11.如果 b=0,只有 a=7,此数是 7740;如果b=2,只有a=5,此数是7542;如果b4,只有a3,此数是 7344;如果 b6,只有 a1,此数是 7146;如果b8,只有a8,此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值,分情况进行讨论,是解决整数问题常用办法,例1就是一个典型.例2一本老账本上记着:72只桶,共67.9元,其中处是被虫蛀掉的数字,请把这笔账补上.把67.9写成整数679,它应被72整除.7298,9与8又互质.按照前面的性质4,
4、只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征,79要被8整除,因此b2.从6792能被9整除,按照被9整除特征,各位数字之和+24能被9整除,因此a3.这笔帐是367.92元.例3在1,2,3,4,5,6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数(有些数字可以重复出现),使得能被组成它的每一个数字整除,并且组成的数要尽可能小.如果选数字5,组成数的最后一位数字就必须是5,这样就不能被偶数2,4,6整除,也就是不能选2,4,6.为了要选的不同数字尽可能多,我们只能不选5,而选其他五个数字1,2,3,4,6.1+2+3+4+616,为了能整除3和6,所用的数字之和要能被3整除,只能再添上一个
5、2,16+218能被3整除.为了尽可能小,又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4 四位数74能被55整除,求出所有这样的四位数.55511,5与11互质,可以分别考虑被5与11整除.要被5整除,个位数只能是0或5.再考虑被11整除.(7+4)-(百位数字+0)要能被11整除,百位数字只能是0,所得四位数是7040.(7+4)-(百位数字+5)要能被11整除,百位数字只能是6(零能被所有不等于零的整数整除),所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个:7040,7645.例5 一个七位数的各位数字互不相同,并且它能被11整除,这样的数中,最大的是哪一个?为了使这个数最大
6、,先让前五位是98765,设这个七位数是98765ab,要使它被11整除,要满足(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)能被11整除,也就是7+b-a要能被11整除,但是a与b只能是0,1,2,3,4中的两个数,只有b4,a0,满足条件的最大七位数是9876504.思考题:如果要求满足条件的数最小,应如何去求,是哪一个数呢?(答:1023495)例6某个七位数1993能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除,那么它的最后三个数字组成的三位数是多少?解一:从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外,只要再分别考虑它能被9,8,7整除.199322,要被9整除,十
7、位与百位的数字和是5或14,要被8整除,最后三位组成的三位数要能被8整除,因此只可能是下面三个数:1993500,1993320,1993680,其中只有199320能被7整除,因此所求的三位数是320.一个整数,它的约数只有1和它本身,就称为质数(也叫素数).例如,2,5,7,101,.一个整数除1和它本身外,还有其他约数,就称为合数.例如,4,12,99,501,.1不是质数,也不是合数.也可以换一种说法,恰好只有两个约数的整数是质数,至少有3个约数的整数是合数,1只有一个约数,也就是它本身.质数中只有一个偶数,就是2,其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数,例如,15,33,.例9 (+
8、)=209.在、中各填一个质数,使上面算式成立.209可以写成两个质数的乘积,即2091119.不论中填11或19,+一定是奇数,那么与是一个奇数一个偶数,偶质数只有2,不妨假定内填2.当填19,要填9,9不是质数,因此填11,而填17.这个算式是 11(172)209,11(217) 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积,特别是一些质数的乘积,是解决整数问题的一种常用方法,这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中,为质数的因数叫做这个整数的质因数,例如,2,3,7,都是42的质因数,6,14也是42的因数,但不是质因数.任何一个合数,
9、如果不考虑因数的顺序,都可以唯一地表示成质因数乘积的形式,例如3602235.还可以写成3602332这里23表示3个2相乘,32表示2个3相乘.在23中,3称为2的指数,读作2的3次方,在32中,2称为3的指数,读作3的2次方.例10 有四个学生,他们的年龄恰好是一个比一个大1岁,而他们的年龄的乘积是5040,那么,他们的年龄各是多少?我们先把5040分解质因数50402457.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积:24778910.所以,这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式,不难求出该数的约数个数(包括1和它本身).为寻求一般方法,先看一个简单的例子.我
10、们知道24的约数有8个:1,2,3,4,6,8,12,24.对于较大的数,如果一个一个地去找它的约数,将是很麻烦的事.因为24233,所以24的约数是23的约数(1,2,22,23)与3的约数(1,3)之间的两两乘积.11,13,21,23,221,223,231,233.这里有428个,即 (31)(11)个,即对于24233中的23,有(31)种选择:1,2,22,23,对于3有(11)种选择.因此共有(31)(11)种选择.这个方法,可以运用到一般情形,例如,1442432.因此144的约数个数是(41)(2+1)15(个).例11 在100至150之间,找出约数个数是8的所有整数.有8
11、71; 8(31)(11)两种情况.(1)27128,符合要求,37150,所以不再有其他7次方的数符合要求.(2)238,813104, 817136,符合要求.3327;只有275135符合要求.53135,它乘以任何质数都大于150,因此共有4个数合要求:128,104,135,136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解,例如720245,16823那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数,上面两个整数都含有质因数2,较低指数次方是23,类似地都含有3,因此720与168的最大公约数是233 24.在求最小公倍数时,很明显每
12、个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5,而168中无5,可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是75040.例12 两个数的最小公倍数是180,最大公约数是30,已知其中一个数是90,另一个数是多少?180225,302对同一质因数来说,最小公倍数是在两数中取次数较高的,而最大公约数是在两数中取次数较低的,从22与2就知道,一数中含22,另一数中含2;从32与3就知道,一数中含32,另一数中含3,从一数是902就知道另一数是22560.还有一种解法:另一数一定是最大公约数30的整数倍,也就是在下面这些数中去找30, 60, 90, 120,.这就需要逐一检验,与90的最小公倍数是否是180,最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验,有时会较费力.例13 有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列,那么第三个分数是多少?把420分解质因数4202为了保证分子、分母不能约分(否则约分后,分子与分母的乘积不再是420了),相同质因数(上面分解中的2),要么都在分子,要么都在分母,并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1,3,4,5,7,12,15,20.分子再大就要超过分母了,它们相应的分
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