六年级奥数数的整除Word下载.docx

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　　性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.

　　性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互

　　质，它们的最小公倍数是b×

c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：

　　要使a被b×

c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.

　　能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.

　　2.数的整除特征

（1）能被2整除的数的特征：

　　如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.

（2）能被5整除的数的特征：

　　如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.

　　（3）能被3（或9）整除的数的特征：

　　如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

　　（4）能被4（或25）整除的数的特征：

　　如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

　　（5）能被8（或125）整除的数的特征：

　　如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

　　（6）能被11整除的数的特征：

　　如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.

　　例1：

四位数7a4b能被18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？

　　解：

18=2×

9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.

　　要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.

　　再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.

　　如果b=0，只有a=7，此数是7740；

　　如果b=2，只有a=5，此数是7542；

　　如果b＝4，只有a＝3，此数是7344；

　　如果b＝6，只有a＝1，此数是7146；

　　如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.

　　因此其中最小数是7146.

　　根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.

　　例2一本老账本上记着：

72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.

把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×

8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.

　　这笔帐是367.92元.

　　例3在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.

如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是

　　122364.

　　例4四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.

55＝5×

11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.

　　要被5整除，个位数只能是0或5.

　　再考虑被11整除.

　　（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.

　　（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.

　　满足条件的四位数只有两个：

7040，7645.

　　例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？

为了使这个数最大，先让前五位是98765，设这个七位数是98765ab，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）

　　能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.

　　思考题：

如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？

　　（答：

1023495）

　　例6某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？

　　解一：

从整除特征考虑.

　　这个七位数的最后一位数字显然是0.

　　另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.

　　1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：

　　1993500，1993320，1993680，

　　其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.

　　一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.

　　质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….

　　例9○×

（□+△）=209.

　　在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.

209可以写成两个质数的乘积，即

　　209＝11×

19.

　　不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.

　　这个算式是11×

（17＋2）＝209，

　　11×

（2＋17）＝209.

　　解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.

　　一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.

　　任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如

　　360＝2×

2×

3×

5.

　　还可以写成360＝23×

32×

　　这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.

　　例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？

我们先把5040分解质因数

　　5040＝24×

5×

7.

　　再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：

　　24×

7＝7×

8×

9×

10.

　　所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.

　　利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.

　　我们知道24的约数有8个：

1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.

　　因为24＝23×

3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.

　　1×

1，1×

3，2×

1，2×

3，22×

1，22×

3，23×

1，23×

3.

　　这里有4×

2＝8个，即（3＋1）×

（1＋1）个，即对于24＝23×

3中的23，有（3＋1）种选择：

1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×

（1＋1）种选择.

　　这个方法，可以运用到一般情形，例如，

　　144＝24×

32.

　　因此144的约数个数是（4＋1）×

（2+1）＝15（个）.

　　例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.

有8＝7＋1；

8＝（3＋1）×

（1＋1）两种情况.

（1）27＝128，符合要求，

　　37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.

（2）23＝8，

　　8×

13＝104，8×

17＝136，符合要求.

　　33＝27；

　　只有27×

5＝135符合要求.

　　53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：

128，104，135，136.

　　利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如

　　720＝24×

5，168＝23×

　　那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是

　　23×

3＝24.

　　在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是

7＝5040.

　　例12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？

180＝22×

5，

　　30＝2×

　　对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；

从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是

　　90＝2×

　　就知道另一数是

　　22×

5＝60.

　　还有一种解法：

　　另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找

　　30，60，90，120，….

　　这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.

　　例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？

把420分解质因数

　　420＝2×

　　为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是

　　1，3，4，5，7，12，15，20.

　　分子再大就要超过分母了，它们相应的分