高等数学讲义 一元函数微分学文档格式.docx

1、处可导 f （X）在点X。处左、右导数皆存在且相等。2.导数的几何意义与物理意义如果函数y f （X）在点X0处导数f（X0）存在，则在几何上 f（X0）表示曲线y f （x）在点（X0, f（x）处的切线的斜率切线方程：y f （x0） f （X0）（X X0）法线方程：y f（X0） （X X0） （f（X0） 0）f （Xo）设物体作直线运动时路程 S与时间t的函数关系为S f （t），如果f （t0）存在，则f （t0）表示物体在时刻t0时的瞬时速度。3函数的可导性与连续性之间的关系如果函数y f （x）在点X0处可导，则f（x）在点X0处一定连续，反之不然，即函数处连续，却不一定在点

2、X。处可导。例如,f （x） | X |,在 X0 0 处连续，却不可导。4.微分的定义设函数y f （x）在点X0处有增量 X时，如果函数的增量 y f（X0 x） f （X0）有下面的表达式y A（x） x o（ x） （ x 0）其中A（x）为X为无关，0（ X）是X 0时比X高阶的无穷小，则称f （X）在X0处可微,并把y中的主要线性部分 A（x0） X称为f （X）在x0处的微分，记以dyXx或df （x） x x 我们定义自变量的微分 dx就是 x。5 微分的几何意义y f （X0 x） f （X0）是曲线y f （x）在点X0处相应于自变量增量 X的纵坐标f （x0）的增量，微分

3、dyxx。是曲线y f （x）在点M（x, f （X0）处切线的纵坐标相应的增量（见图）。6可微与可导的关系f （x）在x0处可微 f （x）在x0处可导。且 dy x X0 A（X） x f （X0）dx般地，y f（x）则 dy f （x）dxdy所以导数f（x） dy也称为微商，就是微分之商的含义。7 高阶导数的概念如果函数y f （x）的导数y f （x）在点x0处仍是可导的，则把y f （x）在点x0处广I /的导数称为y f （x）在点X。处的二阶导数，记以y x x0，或f（X。），或一y x x0等，也 dx称f （x）在点X0处二阶可导。如果y f（x）的n 1阶导数的导数存

4、在，称为 y f （x）的n阶导数，记以 y（n）,（n）y（x）,护等这时也称f （x）是n阶可导。、导数与微分计算1 导数与微分表（略）2 导数与微分的运算法则（1） 四则运算求导和微分公式（2） 反函数求导公式（3） 复合函数求导和微分公式（4） 隐函数求导法则（5） 对数求导法（6） 用参数表示函数的求导公式（乙）典型例题-、用导数定义求导数例 设f （x） （x a）g（x），其中g（x）在x a处连续，求f （a） XfmaH Xa）g二、分段函数在分段点处的可导性 例1设函数X2, x 1ax b, x 1试确定a、b的值，使f （x）在点x 1处可导。解：可导一定连续， f（x

5、）在x 1处也是连续的。由 f（1 0） lim f（x） lim x2 1x 1 x 1f （1 0） lim f （x） lim （ax b） a b由x 1处连续性，lim f （x）x 12lim x 1, f 1，可知a b 1要使f （x）在点x1处连续，必须有ab 1或b1 a又 ff （x）f（1）x2 1（1）呵1 x1limlim（ x 1） 2（1） lim f （x）ax b lim1 a（x 1）lim ax 1 x1 x 1 x 11处可导，必须f （1）f （1），即2 a.故当a 2,b1 a 1 21时,f （x）在点x 1处可导2 n（x 1）x eaxb例

6、2设f（x）nim n（x1） /，冋a和b为何值时，f （x）可导，且求f （x）n e （1 1x1时，n（x 1） lim enlim en（x 1x2J1 ,a b 1ax b再由x 1处可导性,2 x存在（axb）且 f （1）（1）根据洛必达法则2x 2aa，二于是b2 dx , x 1 ,1, x 1,2x 1, x 1 ,2x, x 1,2, x 1,三、运用各种运算法则求导数或微分例 1 设 f （x）可微，y f （ln x） ef（x），求 dydy f （ln x）def（x） ef （x）df （ln x）f （x）ef（x） f （ln x）dx - f （In x

7、）ef （x）dxef（x）f （x）f（ln x） f （In x）dx设yxxx （x0），求矽dx解:ln yxxln x对x求导，得/ X（x ） ln xy x再令 y1 xx, In y1 xlnx，对 x求导,y1 In x 1，二（xx） xx（ln x 1）y1于是 矽 xx（lnx 1）lnx xx1 xx （ x 0）例3设y y（x）由方程xy yx所确定，求dx两边取对数，得 ylnx xlny ,对x求导，y l n Xln y xx y yxy n yy （一 ln x）ln y, yxyln xt2 u2 i de sin udu t2teu ln（1u）du求

8、空解 dxdt四、求切线方程和法线方程t4 L2te si nt e sint2 t22e ln（1 2t）例1已知两曲线y f （x）与yarcta nx.2e t dt在点（o, o）处的切线相同，写出此切线方程，并求lim nf （）。 n n由已知条件可知 f（0） 0, f（0）e （arctanx）21 x2故所求切线方程为 y xf（-） f（0） n limn f （2） lim 2n n n2f （0） 2例2已知曲线的极坐标方程坐标方程。曲线的参数方程为1 cos ，求曲线上对应于6处的切线与法线的直角（1cos ） cos coscos ）sin sin2 cossin

9、cosdcos2 sin6sinv3故切线方程1 （x3）43厂5即-V3法线方程73（x晅3例 3 设f（x）为周期是 5的连续函数，在x 0邻域内，恒有f （1 sin x） 3f （1 sin x） 8x（x）。其中 limx 0（x）0 , f （x）在x 1处可导,求曲线y f（x）在点（6, f（6）处的切线方程。再由条件可知叫IKsinx） 3f（1sin x8x-） 8令sinx t, lim f（1 t） 3f（1 t） 8，又t 0f（1） 0五、上式左边=limt则 4f （1） 8所求切线方程为高阶导数1 求二阶导数y ln（xf （1 t） f（1）（1） 3f （1）f （1） 2y 0 2（x4f6）3lim 空t） f（1）（t）2x y 12 0a2），求 y由题设可知f（6） f （1） , f （6） f （1），故切线方程为f （1）（x 6）所以关键是求出f （1）和f（1）由 f （x）连续性 lim f （1 sinx）3f （1sin x） 2f （1）由所给条件可知 2f（1） 0 ,x2 a2） （1x x a1 2 2尹a）2） 1_x2 a22x（x2 a2）3x arcta n ty ln（1 t2）dx2少dt 1忙2tt2d2yd伴）d啓）