高等数学讲义 一元函数微分学文档格式.docx
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处可导f（X）在点X。
处左、右导数皆存在且相等。
2.导数的几何意义与物理意义
如果函数yf（X）在点X0处导数f（X0）存在，则在几何上f（X0）表示曲线yf（x）
在点（X0,f（x°
））处的切线的斜率
切线方程：
yf（x0）f（X0）（XX0）
法线方程：
yf（X0）（XX0）（f（X0）0）
f（Xo）
设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为Sf（t），如果f（t0）存在，则f（t0）
表示物体在时刻t0时的瞬时速度。
3•函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数yf（x）在点X0处可导，则f（x）在点X0处一定连续，反之不然，即函数
处连续，却不一定在点
X。
处可导。
例如,
f（x）|X|,在X00处连
续，却不可导。
4.微分的定义
设函数yf（x）在点X0处有增量X时，如果函数的增量yf（X0x）f（X0）有
下面的表达式
yA（x°
）xo（x）（x0）
其中A（x°
）为X为无关，0（X）是X0时比X高阶的无穷小，则称f（X）在X0处可微,
并把y中的主要线性部分A（x0）X称为f（X）在x0处的微分，记以dyXx°
或df（x）xx我们定义自变量的微分dx就是x。
5•微分的几何意义
yf（X0x）f（X0）是曲线yf（x）在点X0处相应
于自变量增量X的纵坐标f（x0）的增量，微分dyxx。
是曲线
yf（x）在点M°
（x°
f（X0））处切线的纵坐标相应的增量（见
图）。
6•可微与可导的关系
f（x）在x0处可微f（x）在x0处可导。
且dyxX0A（X°
）xf（X0）dx
般地，yf（x）则dyf（x）dx
dy
所以导数f（x）dy也称为微商，就是微分之商的含义。
7•高阶导数的概念
如果函数yf（x）的导数yf（x）在点x0处仍是可导的，则把yf（x）在点x0处
广I\/
的导数称为yf（x）在点X。
处的二阶导数，记以yxx0，或f（X。
），或一yxx0等，也dx
称f（x）在点X0处二阶可导。
如果yf（x）的n1阶导数的导数存在，称为yf（x）的n阶导数，记以y（n）,
（n）
y
（x）,
护等这时也称
f（x）是n阶可导。
、导数与微分计算
1•导数与微分表（略）
2•导数与微分的运算法则
（1）四则运算求导和微分公式
（2）反函数求导公式
（3）复合函数求导和微分公式
（4）隐函数求导法则
（5）对数求导法
（6）用参数表示函数的求导公式
（乙）典型例题
-、用导数定义求导数
例设f（x）（xa）g（x），其中g（x）在xa处连续，求f（a）
«
X
f
ma
HX
a）
g
二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数
X2,x1
axb,x1
试确定a、b的值，使f（x）在点x1处可导。
解：
•••可导一定连续，•••f（x）在x1处也是连续的。
由f（10）limf（x）limx21
x1x1
f（10）limf（x）lim（axb）ab
由x1处连续性，limf（x）
x1
2
limx1,f⑴
1，可知ab1
要使f（x）在点x
1处连续，必须有a
b1或b
1a
又f
f（x）
f
（1）
x21
（1）呵
1x
1
lim
lim（x1）2
（1）limf（x）
axblim
1「a（x1）
lima
x1x
1x1x1
1处可导，必须
f
（1）
f
（1），即
2a.
故当a2,b
1a12
1时,
f（x）在点
x1处可导•
2n（x1）
xe
ax
b
例2
设
f（x）
nimn（x
1）/
，冋a和b为何值时，f（x）可导，且求f（x）
ne（
11
••
x
1时，
n（x1）lime
n
limen（x1}
x2
J
1,
ab1
axb
再由x1处可导性,
2x
存在
（ax
b）
且f
（1）
（1）
根据洛必达法则
2x2
a
a，二
于是b
2d
x,x1,
1,x1,
2x1,x1,
2x,x1,
2,x1,
三、运用各种运算法则求导数或微分
例1设f（x）可微，yf（lnx）ef（x），求dy
dyf（lnx）def（x）ef（x）df（lnx）
f（x）ef（x）f（lnx）dx-f（Inx）ef（x）dx
ef（x）[f（x）f（lnx）f（Inx）]dx
设y
xx
x（x
0），求矽
dx
解:
lny
xxlnx
对x求导，得
/X
（x）lnx
yx
再令y1xx,Iny1xlnx，对x求导,
y1Inx1，二（xx）xx（lnx1）
y1
于是矽xx（lnx1）lnxxx1xx（x0）
例3设yy（x）由方程xyyx所确定，求dx
两边取对数，得ylnxxlny,
对x求导，ylnX
—lnyx
xyy
xyny
y（一lnx）
lny,y
xylnx
t2u2id
esinudut
2t
euln（1
u）du
求空
解dx
dt
四、求切线方程和法线方程
t4〜L
2tesintesint
2t2
2eln（12t）
例1已知两曲线yf（x）与y
arctanx
.2
etdt在点（o,o）处的切线相同，写出此切线方
程，并求limnf（）。
nn
由已知条件可知f（0）0,f
（0）
e（arctanx）2
1x2
故所求切线方程为yx
f（-）f（0）n
limnf
（2）lim2
nnn
2f（0）2
例2已知曲线的极坐标方程
坐标方程。
曲线的参数方程为
1cos，求曲线上对应于
6处的切线与法线的直角
（1
cos）coscos
cos）sinsin
2cos
sincos
d
cos
・2sin
6
sin
v'
3
<
故切线方程
1（x
3）
4
3厂
5
即
-V3
法线方程
73
（x
晅
^3
例3设f（x）为周期是5的连续函数，在x0邻域内，恒有
f（1sinx）3f（1sinx）8x
（x）。
其中lim
x0
（x）
0,f（x）在x1处可导,
求曲线yf（x）在点（6,f（6））处的切线方程。
再由条件可知
叫
IK
sinx）3f（1
sinx
8x
-^）8
令sinxt,limf（1t）3f（1t）8，又「
t0
f
（1）0
五、
上式左边=lim
t
则4f
（1）8
所求切线方程为
高阶导数
1•求二阶导数
yln（x
[f（1t）f
（1）]
（1）3f
（1）
f
（1）2
y02（x
4f
6）
3lim空
t）f
（1）
（t）
2xy120
a2），求y'
'
由题设可知f（6）f
（1）,f（6）f
（1），故切线方程为
f
（1）（x6）
所以关键是求出f
（1）和f
（1）
由f（x）连续性lim[f（1sinx）
3f（1
sinx）]2f
（1）
由所给条件可知2f
（1）0,•
x2a2）
—（1
x<
xa
122
尹a）
—2）
1_
x2a2
2x
（x2a2）3
xarctant
yln（1t2）
dx2
少
dt1
忙2t
t2
d2y
d伴）
d啓）
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