正弦定理和余弦定理详解说课讲解Word下载.docx

1、aba解的个数一解两解难点正本疑点清源1在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，AB?b?sinAsinB；tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；在锐角三角形中，cosAsinB,cosAsinC2根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换例1已知在中，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解析：，又，总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和

2、一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在中，已知，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，【变式2】在中，已知，求、.【答案】，根据正弦定理，.【变式3】在中，已知，求【答案】根据正弦定理，得.例2在，求：和，先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.由正弦定理得：（方法一），或，当时，（舍去）；当时，（方法二），即为锐角，1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正

3、弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.类型二：余弦定理的应用：例3已知中，、，求中的最大角。首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.三边中最大，其所对角最大，根据余弦定理：，故中的最大角是.1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.【变式1】已知中,求角.【答案】根据余弦定理：【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小【答案】设，根据余弦定理得：，；同理可得；【变式3】在中，若，求角.【答案】，类型三：正、余弦定理的综合应用

4、例4在中，已知，求及.画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角.由余弦定理得：=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理），（法二：正弦定理）又，即画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.【变式1】在中，已知,.求和.【答案】由余弦定理得：因为为钝角，则为锐角，.【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，求角和【答案】根据余弦定理可得：由正弦定理得：.其他应用题详解一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东

5、20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为（）Aakm B.akmC.akm D2akm解析利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ACB中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a23a2，ABa.答案B2张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A2km B3kmC3km D2km解析如图，由条件知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由

6、正弦定理知，所以BSsin303.3轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（）A35海里 B35海里C35海里 D70海里解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE25250，CF15230，且ECF120EF70.答案D4（2014济南调研）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是（）A20m B20mC20（1）m D30m解析如图所示，由已知可知，四边形C

7、BMD为正方形，CB20m，所以BM20m又在RtAMD中，DM20m，ADM30AMDMtan30（m）ABAMMB2020（m）答案A5（2013天津卷）在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC（）A. B.C. D.解析由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC（）232235，所以AC，再由正弦定理：sinBACBC.答案C6（2014滁州调研）线段AB外有一点C，ABC60，AB200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小（）A. B1C. D2解析如图所示，设th后，汽车由A行驶到D

8、，摩托车由B行驶到E，则AD80t，BE50t.因为AB200，所以BD20080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理，得DE2BD2BE22BDBEcos60（20080t）22500t2（20080t）50t12900t242000t40000.当t时，DE最小二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）7已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得ABC120，则A、C两地的距离为_km.解析如右图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos120700，AC10（km）答案108如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之

9、后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8nmile.此船的航速是_nmile/h.解析设航速为vnmile/h在ABS中，ABv，BS8，BSA45，v32（nmile/h）答案329如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米解析在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590，DBC30，BC10（米）在RtABC中，tan60，ABBCtan6010（米）三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共3

10、0分）10（2014台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？解在BCD中，BDC45，CBD30，CD10，由正弦定理，得BC20.在RtABC中，ABBCsin602030（米），所以升旗速度v0.6（米/秒）11.如图，A、B是海面上位于东西方向相距5（3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且

11、与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意，知AB5（3）海里，DBA906030，DAB904545ADB180（4530）105在DAB中，由正弦定理，得于是DB10（海里）又DBCDBAABC30（90）60，BC20（海里），在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC30012002900.得CD30（海里），故需要的时间t1（小时），即救援船到达D点需要1小时12.（2013江苏卷）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA，cosC.（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位