正弦定理和余弦定理详解说课讲解Word下载.docx
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a≥b
a>
解的个数
一解
两解
[难点正本 疑点清源]
1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;
大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>
B?
b?
sinA>
sinB;
tanA+tanB+tanC=tanA·
tanB·
tanC;
在锐角三角形中,cosA<
sinB,cosA<
sinC·
2.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:
(1)化边为角;
(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
例1.已知在中,,,,解三角形.
思路点拨:
先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出边,然后用三角形内角和求出角,最后用正弦定理求出边.
解析:
,
∴,
又,
∴.
总结升华:
1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;
2.数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式.
举一反三:
【变式1】在中,已知,,,解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理,;
根据正弦定理,;
根据正弦定理,
【变式2】在中,已知,,,求、.
【答案】,
根据正弦定理,∴.
【变式3】在中,已知,求
【答案】根据正弦定理,得.
例2.在,求:
和,.
先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角,然后用三角形内角和求出角,最后用正弦定理求出边.
由正弦定理得:
(方法一)∵,∴或,
当时,,(舍去);
当时,,∴.
(方法二)∵,,∴,
∴即为锐角,∴,
1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题。
2.在利用正弦定理求角时,因为,所以要依据题意准确确定角的范围,再求出角.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
类型二:
余弦定理的应用:
例3.已知中,、、,求中的最大角。
首先依据大边对大角确定要求的角,然后用余弦定理求解.
∵三边中最大,∴其所对角最大,
根据余弦定理:
∵,∴
故中的最大角是.
1.中,若知道三边的长度或三边的关系式,求角的大小,一般用余弦定理;
2.用余弦定理时,要注意公式中的边角位置关系.
【变式1】已知中,,,求角.
【答案】根据余弦定理:
【变式2】在中,角所对的三边长分别为,若,求的各角的大小.
【答案】设,,,
根据余弦定理得:
∵,∴;
同理可得;
∴
【变式3】在中,若,求角.
【答案】∵,∴
类型三:
正、余弦定理的综合应用
例4.在中,已知,,,求及.
画出示意图,由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边,然后继续用余弦定理或正弦定理求角.
⑴由余弦定理得:
=
⑵求可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
(法一:
余弦定理)
∵,
(法二:
正弦定理)
∵
又∵,
∴<,即<<
画出示意图,数形结合,正确选用正弦、余弦定理,可以使解答更快、更好.
【变式1】在中,已知,,.求和.
【答案】由余弦定理得:
因为为钝角,则为锐角,∴.
∴.
【变式2】在中,已知角所对的三边长分别为,若,,,求角和
【答案】根据余弦定理可得:
∴由正弦定理得:
.
其他应用题详解
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°
,灯塔B在观察站C的南偏东40°
,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.akmB.akm
C.akmD.2akm
解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°
,在△ACB中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·
BCcos120°
=2a2-2a2×
=3a2,
∴AB=a.
答案 B
2.张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°
方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°
方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A.2kmB.3km
C.3kmD.2km
解析 如图,由条件知AB=24×
=6,在△ABS中,∠BAS=30°
,AB=6,∠ABS=180°
-75°
=105°
,所以∠ASB=45°
.由正弦定理知=,所以BS=sin30°
=3.
3.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°
,轮船A的航行速度是25海里/小时,轮船B的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是( )
A.35海里B.35海里
C.35海里D.70海里
解析 设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F,则依题意有CE=25×
2=50,CF=15×
2=30,且∠ECF=120°
EF=
==70.
答案 D
4.(2014·
济南调研)为测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°
,测得塔基B的俯角为45°
,那么塔AB的高度是( )
A.20mB.20m
C.20(1+)mD.30m
解析 如图所示,由已知可知,四边形CBMD为正方形,CB=20m,所以BM=20m.又在Rt△AMD中,
DM=20m,∠ADM=30°
∴AM=DMtan30°
=(m).
∴AB=AM+MB=+20
=20(m).
答案 A
5.(2013·
天津卷)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=( )
A.B.
C.D.
解析 由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·
BCcos∠ABC=()2+32-2×
×
3×
=5,所以AC=,再由正弦定理:
sin∠BAC=·
BC==.
答案 C
6.(2014·
滁州调研)线段AB外有一点C,∠ABC=60°
,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始多少h后,两车的距离最小( )
A.B.1
C.D.2
解析 如图所示,设th后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t.因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就是求DE最小时t的值.
由余弦定理,得
DE2=BD2+BE2-2BD·
BEcos60°
=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·
50t
=12900t2-42000t+40000.
当t=时,DE最小.
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
7.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°
,则A、C两地的距离为________km.
解析 如右图所示,由余弦定理可得:
AC2=100+400-2×
10×
20×
cos120°
=700,
∴AC=10(km).
答案 10
8.如下图,一艘船上午9:
30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°
处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:
00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°
处,且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.
解析 设航速为vnmile/h
在△ABS中,AB=v,BS=8,∠BSA=45°
=,
∴v=32(nmile/h).
答案 32
9.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°
,再由点C沿北偏东15°
方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°
,则塔AB的高是________米.
解析 在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°
,∠BCD=15°
+90°
,∠DBC=30°
,=,
BC==10(米).
在Rt△ABC中,tan60°
=,AB=BCtan60°
=10(米).
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
10.(2014·
台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处于坡度15°
的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°
和30°
,第一排和最后一排的距离为10米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗?
解 在△BCD中,∠BDC=45°
,∠CBD=30°
,CD=10,由正弦定理,得BC==20.
在Rt△ABC中,AB=BCsin60°
=20×
=30(米),所以升旗速度v===0.6(米/秒).
11.
如图,A、B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°
,B点北偏西60°
的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°
且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?
解 由题意,知AB=5(3+)海里,∠DBA=90°
-60°
=30°
,∠DAB=90°
-45°
=45°
∴∠ADB=180°
-(45°
+30°
)=105°
在△DAB中,由正弦定理,得
于是DB==
=
==10(海里).
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°
+(90°
)=60°
,BC=20(海里),
在△DBC中,由余弦定理,得
CD2=BD2+BC2-2BD·
BC·
cos∠DBC
=300+1200-2×
=900.
得CD=30(海里),
故需要的时间t==1(小时),
即救援船到达D点需要1小时.
12.
(2013·
江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位