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1、1二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c（ a，b，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ，c可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数y ax bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，b ，c是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax 的性质：a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质x 0 时，y 随 x 的增大而增大； x 0 时，a 向上 0，0 y 轴y 随 x

2、的增大而减小； x 0时， y 有最小值 0x 0 时，y 随 x 的增大而减小；a 向下 0，0 y 轴y 随 x 的增大而增大； x 0时， y 有最大值a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.y ax c 的性质：上加下减。a 向上 0，c y 轴0 y 随 x 的增大而减小；c a 0 向下 0，c y 轴3.y a x h 的性质：左加右减。x h 时，y 随 x 的增大而增大； x h 时，a 向上 h，0 X=h x h时， y 有最小值0x h 时，y 随 x 的增大而减小；a 向下 h，0 X=h0 y 随 x 的增大而增大； x h时， y 有最大值4.y a x h k

3、的性质：a 向上 h，khX=k a 向下 h，k三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k ，确定其顶点坐标 h，k ； 保持抛物线y ax 的形状不变，将其顶点平移到 h，k 处，具体平移方法如下：向上（k 0）【或向下 （k【或左 （h0）】平移|k|个单位【或左 （ h平移 |k|个单位【或下 （ k【或下 （ky=a （x-h）2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： y ax bx c沿 y 轴平移 : 向上（下）平移 m 个单位， y ax

4、bx c变成yaxbxcm（或 y ax bx c m） y ax bx c沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y ax bx cy a（ x m） b（x m）（或 y a（x m） b（x m） c四、二次函数y a x h k 与y ax bx c的比较从解析式上看，y ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y a x2 4 2b ac b2a 4a，其中b 4ac bh ，k 五、二次函数y ax bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax bx c 化为顶点式y a（x h） k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左

5、右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与 y 轴的交点 .六、二次函数y ax bx c的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb2a，顶点坐标为， 当时， y 随 x的增大而减小；时， y 随 x的增大而增大；时， y 有最小值4ac b4a2. 当 a 0 时，抛物线开口向下， 对称轴为， 当时， y 随 x 的增大而增大；时

6、， y 随 x 的增大而减小；时， y有最大值 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax bx c （a ，b ，c 为常数， a 0 ）；2. 顶点式：y a（x h） k （a ，h ， k 为常数， a 0 ）；3. 两根式：y a（x x ）（ x x ） （ a 0， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .1 2注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 4ac 0 时， 抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间

7、的关系1. 二次项系数 a二次函数y ax bx c中， a 作为二次项系数，显然 a 0 当 a 0 时，抛物线开口向上， a的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； 当 a 0 时，抛物线开口向下， a的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下，当b 0时， 0，即抛物线的对称轴在 y轴左侧；，即抛物线的对称轴就是 y 轴；，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即，即抛物线的对称轴在 y轴右侧；，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧总结起来，在 a 确定的前提下， b决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴 x在 y 轴左边则 ab 0，在 y 轴的右侧则 ab 0，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点， 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来