立体几何中的向量方法二求空间角Word格式.docx

1、2在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_解析设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则B（1,1,0），B1（1,1,1），A（1,0,0），C（0,1,0），D1（0,0,1），所以（0,0,1），（1,1,0），（1,0,1）令平面ACD1的法向量为n（x，y，z），则nxy0，nxz0，令x1，可得n（1,1,1），所以sin |cosn，|.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_解析以A为原点建立如图所示

2、的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1（0,0,1），E，D（0,1,0），（0,1，1），设平面A1ED的一个法向量为n1（1，y，z），所以有即解得n1（1,2,2）平面ABCD的一个法向量为n2（0,0,1）， cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.4如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角大小为_（用弧度表示）解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1（2,0,2），E（0,1,0），F（0,0,1），则E（0，1,1）

3、，（2,0,2），E2，cosE，EF和BC1所成的角为.5已知六面体ABCA1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角大小为_（用弧度表示）解析如图所示，取AC的中点N，以N为坐标原点，建立空间直角坐标系则A，C，B1，D，C1，（0,0，a）设平面AB1D的法向量为n（x，y，z），由n0，n0，可取n（，1，2）cos，n，直线CC1与平面AB1D所成的角为.6设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_解析如图建立坐标系则D1（0,0,2），A1（2,0,2），B（2,2,0），（2,0,0），D（2,

4、2,0），设平面A1BD的一个法向量n（x，y，z），则令z1，得n（1,1,1）D1到平面A1BD的距离d.7在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图设AA12AB2，则D（0,0,0），C（0,1,0），B（1,1,0），C1（0,1,2），则D（0,1,0），D（1,1,0），（0,1,2）设平面BDC1的一个法向量为n（x，y，z），则nD，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n （2，2,1）设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，D|.8已知点E，F分别在正方体ABC

5、DA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值等于_解析延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示设正方体的棱长为3，则GBBC3，作BHAG于点H，连接EH，则EHB为所求二面角的平面角BH，EB1，tanEHB.二、解答题9（优质试题南京、盐城模拟）如图，直三棱柱ABCA1B1 C1中，ABAC，AB2，AC4，AA12，.（1）若1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1A1C1D的大小为60，求实数的值解以A点为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A

6、xyz，则A（0,0,0），B（2,0,0），C（0,4,0），A1（0,0,2），B1（2,0,2），C1（0,4,2）（1）当1时，D为BC的中点，所以D（1,2,0）， 1（1，2,2），（0,4,0），（1,2，2）设平面A1C1D的法向量为n1（x1，y1，z1），则即取x12，则n1（2,0,1），又cos1，n1，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.（2）因为，所以D，所以（0,4,0），.设平面A1C1D的法向量为n2（x2，y2，z2），取x21，则n2（1,0,1）又平面A1B1C1的一个法向量为n3（0,0,1），由题意得|cosn3，n2|cos 60所以，

7、解得1或1（舍去），所以实数的值为1.10（优质试题全国卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.（1）证明：平面ABEF平面EFDC；（2）求二面角EBCA的余弦值（1）证明由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.（2）解过D作DGEF，垂足为G，由（1）知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由（1）知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG

8、|，可得A（1,4,0），B（3,4,0），E（3,0,0），D（0,0，）由已知，ABEF，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60，从而可得C（2,0，）所以（1,0，），（0,4,0），（3，4，），（4,0,0）设n（x，y，z）是平面BCE的一个法向量，则即所以可取n（3,0，）设m是平面ABCD的一个法向量，则同理可取m（0，4），则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.11如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与

9、直线AB1夹角的余弦值为_解析不妨令CB1，则CACC12，可得O（0,0,0），B（0，0,1），C1（0,2,0），A（2,0,0），B1（0,2,1），（0,2，1），（2,2,1），cos，0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.12在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SOOD，则直线BC与平面PAC所成角的大小为_（用弧度表示）如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa.则A（a,0,0），B（0，a,0），C（a,0,0），P.则C（2a,0,0），A，C（a，a,0），设平面

10、PAC的一个法向量为n（x，y，z），则解得可取n（0,1,1），则 cosC，n，又，n（0，），C，n，直线BC与平面PAC所成的角为.13如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_（用弧度表示）解析CCAB，|2.CB|C|B| cosC，B24. cosC，B.又所求二面角与C，B互补，所求的二面角为.14（优质试题南通调研）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD，AB1，ADAS2，P是棱SD上一点，且SPPD.（1）求直线AB与CP所成角的余弦值

11、；（2）求二面角APCD的余弦值解（1）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0,0），B（1,0,0），C（1,2,0），D（0,2,0），S（0,0,2）设P（x0，y0，z0），由得（x0，y0，z02）（0,2，2），所以x00，y0，z0，点P坐标为.，（1,0,0）设直线AB与CP所成的角为，由图可知，为锐角，则cos .（2）设平面APC的法向量为m（x1，y1，z1），由于（1,2,0），所以令y12，则x14，z11，m（4，2,1）设平面DPC的法向量为n（x2，y2，z2），由于（1,0,0），令y21，则z21，n（0,1,1）设二面角APCD的大小为，由于cosm，n，由于为钝角，所以cos cosm，n.