立体几何中的向量方法二求空间角Word格式.docx

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2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________．

解析　设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则B（1,1,0），B1（1,1,1），A（1,0,0），C（0,1,0），D1（0,0,1），

所以＝（0,0,1），＝（－1,1,0），＝（－1,0,1）．

令平面ACD1的法向量为n＝（x，y，z），则n·

＝－x＋y＝0，n·

＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝（1,1,1），

所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．

解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，

则A1（0,0,1），

E，D（0,1,0），

∴＝（0,1，－1），

＝，

设平面A1ED的一个法向量为n1＝（1，y，z），所以有即解得

∴n1＝（1,2,2）．

∵平面ABCD的一个法向量为n2＝（0,0,1），

∴cos〈n1，n2〉＝＝.

即所成的锐二面角的余弦值为.

4．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，

∠ABC＝90°

，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角大小为_________（用弧度表示）．

解析　以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，

则C1（2,0,2），E（0,1,0），F（0,0,1），

则E＝（0，－1,1），＝（2,0,2），

∴E·

＝2，

∴cos〈E，〉＝＝，

∴EF和BC1所成的角为.

5．已知六面体ABC－A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角大小为________（用弧度表示）．

解析　如图所示，取AC的中点N，以N为坐标原点，建立空间直角坐标系．

则A，C，

B1，D，

C1，∴＝，＝，＝（0,0，a）．

设平面AB1D的法向量为n＝（x，y，z），

由n·

＝0，n·

＝0，可取n＝（，1，－2）．

∴cos〈，n〉＝＝＝－，

∴直线CC1与平面AB1D所成的角为.

6．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．

解析　

如图建立坐标系．则D1（0,0,2），A1（2,0,2），B（2,2,0），

＝（2,0,0），D＝（2,2,0），

设平面A1BD的一个法向量

n＝（x，y，z），则

∴令z＝1，得n＝（－1,1,1）．

∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.

7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_________．

以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AA1＝2AB＝2，则D（0,0,0），C（0,1,0），B（1,1,0），C1（0,1,2），则D＝（0,1,0），D＝（1,1,0），＝（0,1,2）．

设平面BDC1的一个法向量为n＝（x，y，z），则n⊥D，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝（2，－2,1）．

设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，D〉|＝＝.

8．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值等于________．

解析　延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示．设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求二面角的平面角．∵BH＝，EB＝1，∴tan∠EHB＝＝.

二、解答题

9．（优质试题·

南京、盐城模拟）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，＝λ.

（1）若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；

（2）若二面角B1－A1C1－D的大小为60°

，求实数λ的值．

解　以A点为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，则A（0,0,0），B（2,0,0），C（0,4,0），A1（0,0,2），B1（2,0,2），C1（0,4,2）．

（1）当λ＝1时，D为BC的中点，所以D（1,2,0），1＝（1，－2,2），＝（0,4,0），＝（1,2，－2）．

设平面A1C1D的法向量为n1＝（x1，y1，z1），

则即

取x1＝2，则n1＝（2,0,1），

又cos〈1，n1〉＝＝＝，

所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.

（2）因为＝λ，所以D，

所以＝（0,4,0），＝.

设平面A1C1D的法向量为n2＝（x2，y2，z2），

取x2＝λ＋1，则n2＝（λ＋1,0,1）．

又平面A1B1C1的一个法向量为n3＝（0,0,1），

由题意得|cos〈n3，n2〉|＝cos60°

所以＝，解得λ＝－1或λ＝－－1（舍去），所以实数λ的值为－1.

10．（优质试题·

全国Ⅰ卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°

，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°

.

（1）证明：

平面ABEF⊥平面EFDC；

（2）求二面角E－BC－A的余弦值．

（1）证明　由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC，又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.

（2）解　过D作DG⊥EF，垂足为G，由

（1）知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.由

（1）知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°

，则|DF|＝2，|DG|＝，可得A（1,4,0），B（－3,4,0），E（－3,0,0），D（0,0，）．

由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，

由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，

所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF＝60°

，

从而可得C（－2,0，）．

所以＝（1,0，），＝（0,4,0），＝（－3，－4，），＝（－4,0,0）．

设n＝（x，y，z）是平面BCE的一个法向量，则即所以可取n＝（3,0，－）．

设m是平面ABCD的一个法向量，则

同理可取m＝（0，，4），

则cos〈n，m〉＝＝－.

故二面角E－BC－A的余弦值为－.

11．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________．

解析　不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O（0,0,0），B（0，0,1），C1（0,2,0），A（2,0,0），B1（0,2,1），

∴＝（0,2，－1），＝（－2,2,1），

∴cos〈，〉＝＝＝＝＞0.

∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，

∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.

12．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成角的大小为________（用弧度表示）．

如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.则A（a,0,0），B（0，a,0），C（－a,0,0），P.

则C＝（2a,0,0），A＝，

C＝（a，a,0），设平面PAC的一个法向量为n＝（x，y，z），

则解得可取n＝（0,1,1），

则cos〈C，n〉＝＝＝，

又∵〈，n〉∈（0，π），

∴〈C，n〉＝，

∴直线BC与平面PAC所成的角为－＝.

13．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为_________（用弧度表示）．

解析　∵C＝C＋A＋B，

∴||＝＝

＝＝2.

∴C·

B＝|C|·

|B|·

cos〈C，B〉＝－24.

∴cos〈C，B〉＝－.

又所求二面角与〈C，B〉互补，∴所求的二面角为.

14．（优质试题·

南通调研）如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝PD.

（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；

（2）求二面角A－PC－D的余弦值．

解　

（1）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0,0,0），B（1,0,0），C（1,2,0），D（0,2,0），S（0,0,2）．

设P（x0，y0，z0），由＝得（x0，y0，z0－2）＝（0,2，－2），所以x0＝0，y0＝，z0＝，点P坐标为.

＝，＝（1,0,0）．

设直线AB与CP所成的角为α，由图可知，α为锐角，

则cosα＝＝＝.

（2）设平面APC的法向量为m＝（x1，y1，z1），

由于＝（1,2,0），＝，

所以

令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝（4，－2,1）．

设平面DPC的法向量为n＝（x2，y2，z2），

由于＝（1,0,0），＝，

令y2＝1，则z2＝1，n＝（0,1,1）．

设二面角A－PC－D的大小为θ，

由于cos〈m，n〉＝＝＝－，

由于θ为钝角，所以cosθ＝cos〈m，n〉＝－.