专题4导数及其应用Word格式.docx

1、a6已知f （x）ax2，g（x）lnx1，若yf（x）与yg（x）的图象有两个交点，求实数a的取值范围（0,）二、方法联想1切线方程 涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则另设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件注意 （1）“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点（2）用导数求解切线问题：切点处的导数等于切线斜率；切点既在切线上；切点也在曲线上变式1函数上一点处的切线方程为，求的值a2，b1（已知切线方程求参数）变式2题目：在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为和,则的值是 答案 解析：由题设函数yx2在A（x

2、1，y1）处的切线方程为：y2x1 xx12，函数yx3在B（x2，y2）处的切线方程为y3 x22 x2x23所以，解之得：x1，x2所以（已知两曲线的公共切线，求切点）变式3曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 .1（求两曲线的公切线条数）变式4已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围 解：设切点坐标，切线斜率为，则有 切线方程为：因为切线过，所以将代入直线方程可得：所以问题等价于方程，令即直线与有三个不同交点令解得 所以在单调递减，在单调递增所以若有三个交点，则 所以当时，过点存在3条直线与曲线相切（已知公切线条数，研究参数的范围）2函数单调性（1）如果在某个区间上f （x）

3、0，那么f（x）为该区间上的增函数；如果在某个区间上f （x）0，那么f（x）为该区间上的减函数（2）如果f（x）在某个区间为增函数，那么在该区间f （x）0；（f （x）不恒为0）如果f（x）在某个区间为减函数，那么在该区间f （x）0（f （x）不恒为0）注意 求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“”，用“，”或“和”变式1、已知f（x）2ax（2a）ln x（a0）当a0时，讨论f（x）的单调性f（x）2a（2a）. 当0a2时，f（x）在和上是增函数，在上是减函数； 当a2时，f（x）在（0，）上是增函数； 当a2时，f（x）在和上是增函数，在上是减函数（已知导数等于0的两个根，求

4、单调性）变式2、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围_（不单调，求参数的范围）变式3、定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 （确定函数单调性）3函数极值（或最值）求解步骤：求函数的定义域；求f （x）0在区间内的根；讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值变式1、已知函数f（x）的导函数f （x）a（x1）（xa），若f（x）在xa处取到极大值，则a的取值范围是_（1,0）解答：因为f（x）在xa处取到极大值，所以xa为f （x）的一个零点，且在xa的左边f （x）0，右边f （x）

5、0，所以导函数f （x）的开口向下，且a1，即a的取值范围是（1,0）（已知极大（小）值点，求参数范围）变式2、已知函数f（x）x3ax2x2（a0）的极大值点和极小值点都在区间（1,1）内，则实数a的取值范围是_答案（，2）由题意可知f（x）0的两个不同解都在区间（1，1）内因为f（x）3x22ax1，所以根据导函数图象可又a0，解得a2.（已知极值点范围求参数范围）变式3、 已知函数，对任意的,都有恒成立,则实数a的最小值是_（要注意到）4极值（或最值）的分类讨论（1）分类讨论根据f （x）0解（判断为极值点）的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、中、右”，对四种分类标准进行取舍（或

6、合并）；（2）注意数形结合变式1、设函数f（x）lnx，g（x）ax3（aR）求函数（x）f（x）g（x）的单调增区间。因为（x）f（x）g（x）lnxax3 （x0），所以（x）a（x0） 6分当a0时，由（x）0，解得x0；当a1时，由（x）0，解得x；当0a1时，由当a1时，由当a0时，由（x）0，解得0x所以，当a0时，函数（x）的单调增区间为 （0，）；当0a1时，函数（x）的单调增区间为（0，）；当a1时，函数（x）的单调增区间为（，） （已知导数等于0的根，求原函数单调区间）5不等式恒成立问题（1）若不等式的左右都是相同的变量x，如：对xD，f（x）g（x）恒成立方法1 分离变量

7、看最值法（优先）方法2 变换角度看函数方法3 构造两个函数的图象判断位置关系（限于解填空题）技巧 可以通过先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围（2）若不等式的左右都是不相同的变量，如：对x1D1，x2D2， f（x1）g（x2）恒成立，则f（x）maxg（x）min说明：若是不等式有解问题，则求最值与恒成立的问题正好相反变式1、已知函数.若对一切,恒成立,则的取值范围是 . （分离变量行不通, ,函数单调性）变式2、已知函数f（x）对任意的x（0,2），都有f（x）成立，求k的取值范围.对任意都成立，所以，即对任意都成立，从而. 又不等式整理可得，令，所以，得， 当时，函数在上单调递增，同理，

8、函数在上单调递减，所以，综上所述，实数的取值范围是. （已知f（x）g（x）恒成立，首选参变分离）变式3、已知函数f（x），若对于tR，f（t）kt恒成立，则实数k的取值范围是_（已知f（x）g（x）恒成立，构造两个函数的图象判断位置关系）变式4、设过曲线f（x）exx（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）ax2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为_答案: 1a2解析:由题意得：使得，即函数的值域为函数的值域的子集，从而，即（已知使得f（x1）g（x2），利用f（x）的值域为函数g（x）的值域的子集）6方程有解（或解的个数）问题方法1 分

9、离变量看最值（优先）考虑数形结合 导函数的零点和正负难判断技巧1 猜方程的根（如0，1，e等），再通过再求导证明根是否唯一（如证恒增或恒减）技巧2 提取公因式，判断方程的根技巧3 判断是否恒正（负）或判断是否存在根.方法有构造两个函数、不等关系、再求导等变式1、已知函数有两个零点.,则的取值范围是 . （导函数零点分类讨论）变式2、设函数f（x）（x1）lnx，g（x），是否存在自然数k，使得方程f（x）g（x）在（k，k1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由.【答案】【解析】设当时，.又所以存在，使.因为所以当时，当时，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根.

10、（判断方程是否有根及根的个数）三、例题分析例1设函数f （x）x3x26xa （1）对于任意实数x，f （x）m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f （x）0有且仅有一个实根，求a的取值范围 （1）m的最大值为（2）a2或a教学建议一、主要问题归类与方法：1不等式恒成立问题的处理方法1：分离常数法；方法2：转化为二次不等式恒成立问题2 方程有解（解的个数）问题、图象交点问题、函数零点问题之间可以相互转化3结合函数的单调性，研究函数的极大值、极小值，通过画出函数的简图解决问题例2 已知函数f （x）（1）ex，其中a0（1）求函数f （x）的零点；（2）讨论yf （x）在区间（，0）上的单调性；

11、（3）在区间（，上，f （x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由（1）函数f （x）的零点为a（2）区间（，）是f （x）单调增区间；区间（，0）是f （x）单调减区间（3）在区间（，上f （x） 存在最小值f （）1函数零点的概念2结合二次函数图象解一元二次不等式求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集3根据函数的零点和极值点，以及它们的大小关系画出函数f （x）的简图，关注到xa时，f （x）0例3已知函数f（x）x2（2a1）xalnx（1）当a1时，求函数f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）在区间1，e上的最小值；（3）设g（x）（1a）x，若存在x0，e，使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围（1）函数f（x）的单调增区间为（0，）和（1，）（2）当a1时，f（x）min2a；当1ae时，f（x）mina（lnaa1）；当ae时，f（x）mine2（2a1） ea（3）实数a的取值范围为a （，1导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集2求函数在闭区间上的最值，先求出函数的极值点，研究函数在这个闭区间上的简图，比较极值点和区间端点分别对应的函数值大小3由于本题极值点是一个字母，要讨论这个极值点与所给闭区