专题4导数及其应用Word格式.docx
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a>
6.已知f(x)=ax2,g(x)=lnx+1,若y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点,求实数a的取值范围.
(0,)
二、方法联想
1.切线方程
涉及函数图象的切线问题,如果已知切点利用切点求切线;
如果不知切点,则另设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件.
注意
(1)“在”与“过”的区别:
“在”表示该点为切点,“过”表示该点不一定为切点.
(2)用导数求解切线问题:
①切点处的导数等于切线斜率;
②切点既在切线上;
③切点也在曲线上.
变式1
函数上一点处的切线方程为,求的值
a=2,b=1
(已知切线方程求参数)
变式2
题目:
在平面直角坐标系中,直线与曲线和均相切,
切点分别为和,则的值是
答案.
解析:
由题设函数y=x2在A(x1,y1)处的切线方程为:
y=2x1x-x12,
函数y=x3在B(x2,y2)处的切线方程为y=3x22x-2x23.
所以,解之得:
x1=,x2=.
所以=.
(已知两曲线的公共切线,求切点)
变式3
曲线与曲线公切线(切线相同)的条数为.
1
(求两曲线的公切线条数)
变式4
已知函数,若过点存在3条直线与曲线相切,求的取值范围
解:
设切点坐标,切线斜率为,则有
切线方程为:
因为切线过,所以将代入直线方程可得:
所以问题等价于方程,令
即直线与有三个不同交点
令解得所以在单调递减,在单调递增
所以若有三个交点,则
所以当时,过点存在3条直线与曲线相切
(已知公切线条数,研究参数的范围)
2.函数单调性
(1)如果在某个区间上f′(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数;
如果在某个区间上f′(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数.
(2)如果f(x)在某个区间为增函数,那么在该区间f′(x)≥0;
(f′(x)不恒为0)
如果f(x)在某个区间为减函数,那么在该区间f′(x)≤0.(f′(x)不恒为0)
注意求单调区间前优先求定义域;
单调区间不能用“∪”,用“,”或“和”.
变式1、已知f(x)=2ax--(2+a)lnx(a≥0).当a>0时,讨论f(x)的单调性.
f′(x)=2a+-(2+a)==.
①当0<a<2时,f(x)在和上是增函数,在上是减函数;
②当a=2时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;
③当a>2时,f(x)在和上是增函数,在上是减函数.
(已知导数等于0的两个根,求单调性)
变式2、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围_______________
(不单调,求参数的范围)
变式3、定义在上的函数满足:
则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为.
(确定函数单调性)
3.函数极值(或最值)
求解步骤:
①求函数的定义域;
②求f′(x)=0在区间内的根;
③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值.
④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较,得到最大值与最小值.
变式1、已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是_____.
(-1,0)
解答:
因为f(x)在x=a处取到极大值,所以x=a为f′(x)的一个零点,且在x=a的左边f′(x)>0,右边f′(x)<0,所以导函数f′(x)的开口向下,且a>-1,即a的取值范围是(-1,0).
(已知极大(小)值点,求参数范围)
变式2、已知函数f(x)=x3+ax2+x+2(a>
0)的极大值点和极小值点都在区间(-1,1)内,则实数a的取值范围是______.
答案 (,2)
由题意可知f′(x)=0的两个不同解都在区间(-1,1)内.因为f′(x)=3x2+2ax+1,
所以根据导函数图象可又a>
0,解得<
a<
2.
(已知极值点范围求参数范围)
变式3、已知函数,对任意的,都有恒成立,则实数a的最小值是______.
(要注意到)
4.极值(或最值)的分类讨论
(1)分类讨论根据f′(x)=0解(判断为极值点)的存在性和解与区间的位置关系分为:
“无、左、中、右”,对四种分类标准进行取舍(或合并);
(2)注意数形结合.
变式1、设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+-3(a∈R).求函数φ(x)=f(x)+g(x)的单调增区间。
因为φ(x)=f(x)+g(x)=lnx+ax+-3(x>0),
所以φ'
(x)=+a-==(x>0).
……………………6分
①当a=0时,由φ'
(x)>0,解得x>0;
②当a>1时,由φ'
(x)>0,解得x>;
③当0<a<1时,由φ'
④当a=1时,由φ'
⑤当a<0时,由φ'
(x)>0,解得0<x<.
所以,当a<0时,函数φ(x)的单调增区间为(0,);
当0≤a≤1时,函数φ(x)的单调增区间为(0,+∞);
当a>1时,函数φ(x)的单调增区间为(,+∞).
(已知导数等于0的根,求原函数单调区间)
5.不等式恒成立问题
(1)若不等式的左右都是相同的变量x,如:
对x∈D,f(x)≤g(x)恒成立.
方法1分离变量看最值法(优先).
方法2变换角度看函数.
方法3构造两个函数的图象判断位置关系(限于解填空题).
技巧可以通过先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围.
(2)若不等式的左右都是不相同的变量,如:
对x1∈D1,x2∈D2,f(x1)≤g(x2)恒成立,
则f(x)max≤g(x)min.
说明:
若是不等式有解问题,则求最值与恒成立的问题正好相反.
变式1、已知函数.若对一切,恒成立,则的取值范围是.
(分离变量行不通,,函数单调性)
变式2、已知函数f(x)=对任意的x∈(0,2),都有f(x)<成立,求k的取值范围.
对任意都成立,
所以,即对任意都成立,从而.
又不等式整理可得,令,
所以,得,
当时,,函数在上单调递增,
同理,函数在上单调递减,所以,
综上所述,实数的取值范围是.
(已知f(x)<g(x)恒成立,首选参变分离)
变式3、已知函数f(x)=,若对于t∈R,f(t)≤kt恒成立,则实数k的取值范围是_
(已知f(x)≤g(x)恒成立,构造两个函数的图象判断位置关系)
变式4、设过曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在过曲线g(x)=ax+2cosx上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为___________
答案:
-1≤a≤2
解析:
由题意得:
使得,即函数的值域为函数的值域的子集,从而,即
(已知使得f(x1)=g(x2),利用f(x)的值域为函数g(x)的值域的子集)
6.方程有解(或解的个数)问题
方法1分离变量看最值(优先).
考虑数形结合.
导函数的零点和正负难判断
技巧1猜方程的根(如0,±
1,±
e等),再通过再求导证明根是否唯一(如证恒增或恒减).
技巧2提取公因式,判断方程的根.
技巧3判断是否恒正(负)或判断是否存在根.方法有构造两个函数、不等关系、再求导等.
变式1、已知函数有两个零点.,则的取值范围是.
(导函数零点分类讨论)
变式2、设函数f(x)=(x+1)lnx,g(x)=,是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?
如果存在,求出k;
如果不存在,请说明理由.
【答案】
【解析】设
当时,.
又
所以存在,使.
因为所以当时,,当时,,
所以当时,单调递增.
所以时,方程在内存在唯一的根.
(判断方程是否有根及根的个数)
三、例题分析
例1设函数f(x)=x3-x2+6x-a.
(1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.
(1)m的最大值为-.
(2)a<2或a>.
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法:
1.不等式恒成立问题的处理方法1:
分离常数法;
方法2:
转化为二次不等式恒成立问题.
2.方程有解(解的个数)问题、图象交点问题、函数零点问题之间可以相互转化.
3.结合函数的单调性,研究函数的极大值、极小值,通过画出函数的简图解决问题.
例2已知函数f(x)=(1+)ex,其中a>0.
(1)求函数f(x)的零点;
(2)讨论y=f(x)在区间(-∞,0)上的单调性;
(3)在区间(-∞,-]上,f(x)是否存在最小值?
若存在,求出最小值;
若不存在,请说明理由.
(1)函数f(x)的零点为-a.
(2)区间(-∞,)是f(x)单调增区间;
区间(,0)是f(x)单调减区间.
(3)在区间(-∞,-]上f(x)存在最小值f(-).
1.函数零点的概念.
2.结合二次函数图象解一元二次不等式.求单调区间关注函数的定义域,单调区间是定义域的子集.
3.根据函数的零点和极值点,以及它们的大小关系画出函数f(x)的简图,关注到x<-a时,f(x)>0.
例3.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
(3)设g(x)=(1-a)x,若存在x0∈[,e],使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.
(1)函数f(x)的单调增区间为(0,)和(1,+∞).
(2)当a≤1时,[f(x)]min=-2a;
当1<a<e时,[f(x)]min=a(lna-a-1);
当a≥e时,[f(x)]min=e2-(2a+1)e+a.
(3)实数a的取值范围为a∈(-∞,].
1.导函数值大于零的区间是原函数的增区间;
导函数值小于零的区间是原函数的减区间.求单调区间关注函数的定义域,单调区间是定义域的子集.
2.求函数在闭区间上的最值,先求出函数的极值点,研究函数在这个闭区间上的简图,比较极值点和区间端点分别对应的函数值大小.
3.由于本题极值点是一个字母,要讨论这个极值点与所给闭区