1、2已知一个角大于120的三角形的三边长分别为,则实数的取值范围为( B ) A B C D第3题图B.由题意可知:解得。3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点,则二面角M-CD1-A的余弦值为( C )A B C DC.以为坐标原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,则,且平面的法向量为,平面法向量为。因此,即二面角M-CD1-A的余弦值为。4若实数满足,则的最大值为 ( C )A B C D 2 由满足的条件知,所以,当取等号。5 已知等腰直角PQR的三个顶点分别在等腰直角ABC的三条边上,记PQR,ABC的面积分别为SPQR,SABC,则的最小值为( D )A
2、 B C D 参考答案:D.如图5-1所示,ABCPQRH 图5-1 图5-2(1)当的直角顶点在的斜边上,则四点共圆,所以在中分别应用正弦定理得.又故,故即为的中点.过作于,则,所以,此时的最大值为.(2)当的直角顶点在的直角边上,如图5-2所示,设,则 在中,在中,,由正弦定理, ,因此.这样,当且仅当取等号,此时的最小值为.6. 已知数列的通项 ,若,则实数等于( D )A B C D则,所以,经检验只有符合题意。7 若过点P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积不可能等于 ( C )A B C D 不妨设四条直线交成的正方形在第一
3、象限,且边长为,面积为过的直线的倾斜角为。当过点的直线为正方形的对边所在的直线时,此时正方形的面积。同理,当过点的直线为正方形的对边所在的直线时,;当过点的直线为正方形的对边所在的直线时,.8若集合,则集合中的元素个数为( B )A4030 B4032 C 20152 D 20162由已知得,因为一奇一偶,所以两者之一为偶数,即为共有2016种情况,交换顺序又得到2016种情形,所以集合共有4032个元素.二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,9-14每题7分,15题8分,共50分)9已知函数满足,且,则 .,所以10若数列的前项和,则= 又,故,11 已知F为抛物线的焦
4、点,点A (3,1), M是抛物线上的动点当取最小值时,点M的坐标为 设抛物线的准线为.过M作的垂线,垂足为则,当三点共线时取等号,此时M的坐标为。12若,则 .解答:设,则,代入方程得或,即或,所以。13. 设函数,其中表示中的最小者若,则实数的取值范围为 当时,此时有;当时,此时有。14 已知向量的夹角为, ,向量,的夹角为,则的最大值为 24.,则又此时共圆,由正弦定理得,则。在中,,由余弦定理得,即,所以,当时取“=”,因此的最大值为24.15设,若对任意,都有,则首先令知.其次考虑过定点(0,2)的直线,与开口向上的抛物线,满足对任意所对应图象上的点不在轴同侧,因此.又,故.三、解答
5、题(本大题共有3小题,16题16分,17、18每题18分,共52分)16 设,函数若对任意实数,方程有两个相异的实根,求实数的取值范围因为方程有两个相异的实根,即方程有两个相异的实数根,所以 4分即对任意实数恒成立,所以,12分解得.16分17已知椭圆的离心率为,右焦点为圆的圆心(I)求椭圆的方程;(II)若直线l与曲线C1,C2都只有一个公共点,记直线l与圆C2的公共点为A,求点A的坐标()设椭圆的半焦距长为,则,解得,所以椭圆方程为.4分()当直线的斜率不存在时,显然不满足题意.当直线的率存在时,可设直线的方程为,点的坐标为,其中.联立方程,消去得(1)所以即(2)8分联立方程消去得(3)
6、(4)12分(2)-(4)得 (5)(5)代入(3)得(6)16分(6)代入得.经检验或符合题意,这样点的坐标为.18分18已知数列满足证明:证明:因为, 所以 8分又,所以.16分所以.因此18分四、附加题(本大题共有2小题,每题25分,共50分)附加1已知数列满足,(I) 证明:是正整数数列;(II) 是否存在,使得,并说明理由()由得, (1)同理可得 ,(2)5分由(1)(2)可知,为方程的两根,又,即有,即 因为所以为正整数.10分()不存在,使得.15分假设存在,使得,则.一方面,所以,即,所以.由费马小定理知,所以20分另一方面,.事实上,假设,则,即,所以,而,这样得到.矛盾.
7、 所以,由费马小定理得.这样得到.矛盾.所以不存在,使得.25分附加2 设k为正整数,称数字的排列为“N型”的,如果这些数满足(1); (2);(3)记为所有“N型”排列的个数(I)求,的值; (II)证明:对任意正整数k,均为奇数首先注意到的值只能取这些数字,因为必须有2k个值比它小,而的值只能取这些数字,因为必须有2k个值比它大。 记()时的N型排列个数为,则,.化简得.10分(1) 计算可得 15分(2) 易知 , (),.当时,对于所有,是偶数。事实上对于,()时的任何一个N型排列,此时数字只能放在的位置,数字只能放在上(字母N的两头),和的数字可以互换得到一个新的N型排列,于是是偶数().25分(也可以从表达式说明是偶数(),它的组合意义就是将m个白球,n个红球,n个蓝球排成一行的排列数。于是任何一种排列,交换红蓝球可对应另一种排列。于是 为奇数!25分)
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