浙江省高中数学竞赛试卷含参考答案Word文档格式.doc
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2.已知一个角大于120º
的三角形的三边长分别为,则实数的取值范围为(B).
A.B.C.D.
第3题图
B.
由题意可知:
解得。
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点,
则二面角M-CD1-A的余弦值为(C).
A.B.C.D.
C.
以为坐标原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,则,且平面的法向量为,平面法向量为。
因此,即二面角M-CD1-A的余弦值为。
4.若实数满足,则的最大值为(C).
A.B.C.D.2
由满足的条件知,所以,当取等号。
5.已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上,记△PQR,△ABC的面积分别为S△PQR,S△ABC,则的最小值为(D).
A.B.C.D.
参考答案:
D.
如图5-1所示,
A
B
C
P
Q
R
H
图5-1图5-2
(1)当的直角顶点在的斜边上,则四点共圆,所以在中分别应用正弦定理得.又故,故即为的中点.
过作于,则,所以,此时的最大值为.
(2)当的直角顶点在的直角边上,如图5-2所示,设,则
在中,
在中,,
由正弦定理,
,因此.
这样,,当且仅当取等号,此时的最小值为.
6.已知数列的通项,,若,则实数等于(D).
A.B.C.D.
则,所以
,经检验只有符合题意。
7.若过点P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积不可能等于(C).
A.B.C.D.
不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为,面积为过的直线的倾斜角为。
当过点的直线为正方形的对边所在的直线时,,此时正方形的面积。
同理,当过点的直线为正方形的对边所在的直线时,;
当过点的直线为正方形的对边所在的直线时,.
8.若集合,则集合中的元素个数为(B).
A.4030B.4032C.20152D.20162
由已知得,因为一奇一偶,所以两者之一为偶数,即为共有2016种情况,交换顺序又得到2016种情形,所以集合共有4032个元素.
二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,9-14每题7分,15题8分,共50分)
9.已知函数满足,,且,则.
.
,所以
10.若数列的前项和,,则=.
又,故,
11.已知F为抛物线的焦点,点A(3,1),M是抛物线上的动点.当取最小值时,点M的坐标为.
设抛物线的准线为.过M作的垂线,垂足为则
当三点共线时取等号,此时M的坐标为。
12.若,则.
解答:
设,则,代入方程得或,即
或,所以。
13.设函数,其中表示中的最小者.若,则实数的取值范围为.
当时,此时有;
当时,此时有。
14.已知向量的夹角为,,向量,的夹角为,,则的最大值为.
24.
,则又
此时共圆,由正弦定理得,则。
在中,,由余弦定理得,即,所以,当时取“=”,因此的最大值为24.
15.设,若对任意,都有,则
首先令知.其次考虑过定点(0,2)的直线,与开口向上的抛物线,满足对任意所对应图象上的点不在轴同侧,因此.又,故.
三、解答题(本大题共有3小题,16题16分,17、18每题18分,共52分)
16.设,函数.若对任意实数,方程有两个相异的实根,求实数的取值范围.
因为方程有两个相异的实根,即方程有两个相异的实数根,所以………………………………4分
即对任意实数恒成立,所以
,…………………………………………………12分
解得.…………………………………………………………………………16分
17.已知椭圆的离心率为,右焦点为圆的圆心.
(I)求椭圆的方程;
(II)若直线l与曲线C1,C2都只有一个公共点,记直线l与圆C2的公共点为A,求点A的坐标.
(Ⅰ)设椭圆的半焦距长为,则,解得,所以椭圆方程为.………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,显然不满足题意.当直线的率存在时,可设直线的方程为,点的坐标为,其中.
联立方程,消去得…………
(1)
所以即
……………………
(2)……………………………………………8分
联立方程消去得
………………(3)
……………………………(4)…………………………12分
(2)-(4)得………………………………(5)
(5)代入(3)得………………(6)…………………………16分
(6)代入得.
经检验或符合题意,这样点的坐标为.…………18分
18.已知数列满足.证明:
.
证明:
因为,所以
……………………8分
又,
所以.……………………16分
所以.因此……18分
四、附加题(本大题共有2小题,每题25分,共50分)
附加1已知数列满足,,.
(I)证明:
是正整数数列;
(II)是否存在,使得,并说明理由.
(Ⅰ)由得
,………………………………
(1)
同理可得,………………
(2)……………………5分
由
(1)
(2)可知,为方程的两根,又,即有,即
因为所以为正整数.……………………………………………………10分
(Ⅱ)不存在,使得.…………………………………………………15分
假设存在,使得,则.
一方面,,所以,即
,所以.
由费马小定理知,所以…………………………20分
另一方面,.事实上,假设,则,即,所以,而,这样得到.矛盾.
所以,由费马小定理得.
这样得到.矛盾.所以不存在,使得.………………25分
附加2设k为正整数,称数字的排列为“N型”的,如果这些数满足
(1);
(2);
(3).
记为所有“N型”排列的个数.
(I)求,的值;
(II)证明:
对任意正整数k,均为奇数.
首先注意到的值只能取这些数字,因为必须有2k个值比它小,而的值只能取这些数字,因为必须有2k个值比它大。
记()时的N型排列个数为,则
,.
化简得
.………………………………………………………10分
(1)计算可得………………………………………………………………15分
(2)易知,(),.
当时,对于所有,是偶数。
事实上对于,()时的任何一个N型排列,此时数字只能放在的位置,数字只能放在
上(字母N的两头),和的数字可以互换得到一个新的N型排列,于是是偶数().……25分
(也可以从表达式说明是偶数(),它的组合意义就是将m个白球,n个红球,n个蓝球排成一行的排列数。
于是任何一种排列,交换红蓝球可对应另一种排列。
于是为奇数!
………………………25分)