有限元4薄板弯曲问题文档格式.docx

1、），即以中面上沿Z方向的挠度W代表板的挠度）、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。（法向假定,、板弯曲时，中面不产生应力。（中面中性层假定） 上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or 柯克霍夫假定）。符合上述假定的平板即为刚性板。二、基本方法 以上述假定为基础，板分析中常用挠度作为基本未知量,下面介绍以为基本未知量所导出的有关方程。 、几何方程（应变挠度关系）弹性曲面沿x, y 方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD，如图所示，设其边长为dx, dy，变形后弯曲成曲面ABCD设A点挠度, 则沿x方向倾角（绕y轴） （B点绕度 沿y方向倾角（绕x轴） （D点绕度 沿x, y 方

2、向位移作平行于平面,设中面上点A到A1的距离为Z，变形后,A点有挠度W, 同时发生弯曲，曲面沿x方向的倾角为, 根据法线假定,则A1点沿x方向的位移: （负号为方向与x相反） 同理取平面得： （4-1-1） Z平面的应变分量和曲、扭率 基本假定，由于, 故板任意点的应变与平面问题相同: （4-1-2） 此为Z平面的应变挠度度几何方程。上式中的为曲面在X,Y方向的曲、扭率，记为： （4-1-3）所以, 、物理方程（应力挠度关系） 由于忽略z 对变形的影响, 因此z平面的应力应变关系具有与平面问题相同的形式:将（4-1-2）代入得:或简写为： （4-1-4）式中弹性矩阵: 、力方程（力挠度关系）从

3、板取微元体, 由其上正应力和剪应力可在截面上合成合力矩:面上由产生的绕Y轴弯矩） 产生的绕X轴弯矩）扭矩:（由剪应力产生，如图）假定 分别表示单位宽度上的力矩。如是，力矩阵：简写成 （4-1-5）比较（4-1-4）和（4-1-5）可得用力矩表示的平板应力:由此可见，平板上、下表面处的应力最大： 以上是薄板弯曲问题中的基本公式,从中可见其挠度W是弯曲问题中的基本未知函数。且由于忽略了z方向的变化,因此它只是x，y 的函数: w=w（x, y）。若w已知，则位移，力、应力均可按上述相应公式求出。在经典解析法中，W（x, y）常设为三角级数形式。例如，四边简支矩形板的W（x, y）设为: （纳维尔解

4、）式中为待定系数。假定荷载 则可得位移函数:4.2 有限元分析方法一、矩形单元的典型形式 将图示矩形薄板沿x,y方向划分成若干小矩形（常取等分）从中取出一小矩形（单元），共有四个结点，此时不能象在平面问题中一样，将结点视为“铰”，而是“刚性的”，即每个结点有三个位移分量：挠度,绕x、y轴转角 即结点i的位移同理,相应的结点力符号重新定义是为了有限元表示的方便，由此得单元结位移向量节点力二、 位移模式（函数）、位移模式的选取插值多项式取为： （4-2-1）在上式中,前10项取到了三次项的全部,最后两项则是从五个四次项中选用了两个。没选是因为它没有多一项与其配对，没选它们在边界上结出的挠度函数是四

5、次的，比和要高一次,较之更难满足边界的协调和条件。、位移模式的检验（三个基本要求： 刚体位移，常应变，尽可能的边界协调） 前三项含单元的刚体位移状态：第一项与坐标x, y无关, 表示z方向的挠度是常量, 刚体移动 二次项代表均匀变形状态:曲率 ， 能保证相邻单元在公共边界上挠度的连续性。 不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的连续性。以单元边界为例，在此边界上=常量，代入位移模式 4-2-1，可知边界上的挠度W是x的三次函数，合并整理后可得：两个端点共有4个边界条件,（结点1,2的挠度W1 , W2 ,和转角。利用他们可唯一确定四个常数C1 C4。因为相邻单元在结点1, 2的W, y对应相同，

6、则两个单元依据四个条件得到的C1 C4 亦相同，即两单元在边界具有同一挠度函数W。 法线转角仍以1-2边界为例，将y=-b代入后，此时 但对x来讲，1, 2结点只能提供2个已知条件，不能完全确定上式，故边界的法线转角不能保证连续性。 因此，这种单元是非协调元，但可以验证这种非协调远是能通过分片试验的。（即当单元划分不断缩小时，计算结果仍能收敛于精确解。三、形函数和形函数矩阵。 分别将单元结点1, 2, 3, 4的坐标值代入（4-2-1），并事先求出，便可得到各结点的位移值。一共可得12个关于的方程组，联立求解可得： （4-2-2） 形函数矩阵:式中形函数: （4-2-3）（i=1 2 3 4）

7、 在上面的推导中,我们仍然选用了局部坐标（无因次坐标）。局部坐标与整体坐标的关系为:四、单元的几何矩阵B和力矩阵S1几何矩阵B由前可知 , 将（423）代入（4-2-4）得到几何矩阵： （4-2-5）或以子块形式表示： B=B1 B2 B3 B4。式中：2.力矩阵S由基本方程（4-2-5）可得到： （4-2-6）称为力矩阵，把单元的四个结点坐标分别代入4-2-4，求得后，即可获得，各节点力矩阵的显式：五、单元刚度矩阵由一般公式得: 。将几何矩阵B和弹性矩阵D的表达式代入，积分可得薄板弯曲问题矩形单元的单元刚度矩阵的显示：六、荷载等效变换由荷载等效变换的一般公式可得1法向均布荷载q代入上述公式得

8、：2单元中心点受法向集中力P代入上述公式可得：七、位移边界条件 对称、固定边和简支边上支点的已知位移条件如下： 对称轴: 法线转角=0 固定边: 挠度=0 （或已知值） 边线转角=0 （或已知值） 法线转角=0 （或已知值） 简支边:自由边上节点的挠度、边线和法线转角均为特定参数，同部节点一样。与板铰接的固定立柱，其节点挠度 = 0，也可以是已知值。八、计算例题例题1: 计算图示四边固定方板 方板的边长为l，厚度为t，弹性模型量为E，波松比=0.3，全板承受均布法向荷载，求薄板中的挠度和力。单元划分： 为了说明解题方法，采用最简单的网络22，即把方板分成四个矩形单元。由于对称性，只需计算一个单

9、元，例如，计算图中有阴影的单元，单元的节点编号为，。 此时，单元的a, b是 计算节点荷载: 由前面的均布荷载计算公式得：边界条件： 边界23和34为固定边，因此节点2, 3, 4的挠度、边线和法线转角均为零。边界12和14为对称轴，因此x1 =0、y1 =0。于是，在4个节点和12个位移分量中,只有一个待求的未知量结构的代数方程组： 这是一个单元的计算题目，单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵。引入支承条件后，在总刚度矩阵中只取第一行、列元素，在方程组右端项中只保留第一个元素。于是结构的代数方程为：同此解出 其中 力: 利用式（4-2-6）可求得方板中点力矩为： 由表看出，网格越密，计算结果越接

10、近于精确答案。还可看出，位移的精度一般比力的精度高，这是因为在位移法中，位移是由基本方程直接求出的，而力则是根据位移间接求出的。4.3 薄板有限元程序设计一、总框图 根据弯曲板有限元分析方法的解题过程，可写出其总框图如下： 输入原始数据 or CAI 算等效结点力 形成荷载列阵 形成单元 定位向量 形 成 总 刚 单 刚 解方程输出位移 几何矩阵B 弹性矩阵D 计算单元力等 结 束 下面结合程序对框图中的容加以说明。二、子框图 、单元坐标结点编号及单刚形式。 为了取挠度向下为正，又能与前述坐标系统统一，特将前述坐标前翻180（如图）为了能适用板的弹型性分析,程序采用了应力元和弯曲元的组合形式，

11、即每个结点考虑5个位移分量: U, V, W, x , y , 前2个为平面应力问题的未知量,后3个为弯曲板的结点未知量。当只作弹性分析时，平面应力元和弯曲元是非藕连的，即单刚的两个副块垣为0, 单刚的形式为： u1 v1 u4 v4 w1 x1 y4 w4 x4 y4 平面应力元 0 Ke = （88） 弯曲元 0 （1212） 程序中单刚数组为 DK（20, 20）, 子程序:Subroutine DG（A, B, E, T, U）为其形成单刚的子程序。 、自动形成单元编号信息（ 单元信息数组：IB）。 、结点定位向量。 、形成荷载列向量。（ a. 结点力； b. 非结点力（只考虑均布力） 、总刚，Subroutine ZG（M, N, LD, A, B