有限元4薄板弯曲问题文档格式.docx
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），即以中面上沿Z方向的挠度W代表板的挠度）
２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。
（─法向假定
３、板弯曲时，中面不产生应力。
（─中面中性层假定）
上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or柯克霍夫假定）。
符合上述假定的平板即为刚性板。
二、基本方法
以上述假定为基础，板分析中常用挠度
作为基本未知量,下面介绍以
为基本未知量所导出的有关方程。
１、几何方程（应变─挠度关系）
①弹性曲面沿x,y方向的倾角
从中面取出一微小矩形ABCD，如图所示，设其边长为dx,dy，变形后弯曲成曲面A'
B'
C'
D'
设A点挠度
则沿x方向倾角（绕y轴）
（B’点绕度
沿y方向倾角（绕x轴）
（D’点绕度
②沿x,y方向位移
作平行于
平面,设中面上点A到A1的距离为Z，变形后,A点有挠度W,同时发生弯曲，
曲面沿x方向的倾角为
根据法线假定,则A1点沿x方向的位移:
（负号为方向与x相反）
同理取
平面得：
（4-1-1）
③Z平面的应变分量和曲、扭率
基本假定，由于
故板任意点的应变与平面问题相同:
（4-1-2）
此为Z平面的应变─挠度度几何方程。
上式中的
为曲面在X,Y方向的曲、扭率，记为：
（4-1-3）
所以,
２、物理方程（应力─挠度关系）
由于忽略σz对变形的影响,因此z平面的应力─应变关系具有与平面问题相同的形式:
将（4-1-2）代入得:
或简写为：
（4-1-4）
式中弹性矩阵:
３、力方程（力─挠度关系）
从板取微元体
由其上正应力
和剪应力
可在截面上合成合力矩:
面上由
产生的绕Y轴弯矩）
产生的绕X轴弯矩）
扭矩:
（由剪应力产生，如图）
假定
分别表示单位宽度上的力矩。
如是，力矩阵：
简写成
（4-1-5）
比较（4-1-4）和（4-1-5）可得用力矩表示的平板应力:
由此可见，平板上、下表面处的应力最大：
以上是薄板弯曲问题中的基本公式,从中可见其挠度W是弯曲问题中的基本未知函数。
且由于忽略了z方向的变化,因此它只是x，y的函数:
w=w（x,y）。
若w已知，则位移，力、应力均可按上述相应公式求出。
在经典解析法中，W（x,y）常设为三角级数形式。
例如，四边简支矩形板的W（x,y）设为:
（纳维尔解）
式中
为待定系数。
假定荷载
则可得位移函数:
4.2有限元分析方法
一、矩形单元的典型形式
将图示矩形薄板沿x,y方向划分成若干小矩形（常取等分）
从中取出一小矩形（单元），共有四个结点，此时不能象在平面问题中一样，将结点视为“铰”，而是“刚性的”，即每个结点有三个位移分量：
挠度
绕x、y轴转角
即结点i的位移
同理,相应的结点力
符号重新定义是为了有限元表示的方便，由此得单元结位移向量
节点力
二、位移模式（函数）
１、位移模式的选取
插值多项式取为：
（4-2-1）
在上式中,前10项取到了三次项的全部,最后两项则是从五个四次项
中选用了两个。
没选
是因为它没有多一项与其配对，没选
它们在边界上结出的挠度函数是四次的，比
和
要高一次,较之更难满足边界的协调和条件。
２、位移模式的检验
（三个基本要求：
刚体位移，常应变，尽可能的边界协调）
①前三项含单元的刚体位移状态：
第一项
与坐标x,y无关,表示z方向的挠度是─常量,刚体移动
②二次项代表均匀变形状态:
曲率
，
③能保证相邻单元在公共边界上挠度的连续性。
④不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的连续性。
以单元１～２边界为例，在此边界上
=常量，代入位移模式4-2-1，可知边界上的挠度W是x的三次函数，合并整理后可得：
两个端点共有4个边界条件,（结点1,2的挠度W1,W2,和转角
。
利用他们可唯一确定四个常数C1～C4。
因为相邻单元在结点1,2的W,θy对应相同，则两个单元依据四个条件得到的C1～C4亦相同，即两单元在边界具有同一挠度函数W。
⑤法线转角
仍以1-2边界为例，将y=-b代入后，此时
但对θx来讲，1,2结点只能提供2个已知条件，不能完全确定上式，故边界的法线转角不能保证连续性。
因此，这种单元是非协调元，但可以验证这种非协调远是能通过分片试验的。
（即当单元划分不断缩小时，计算结果仍能收敛于精确解。
三、形函数和形函数矩阵。
分别将单元结点1,2,3,4的坐标值代入（4-2-1），并事先求出
，
，便可得到各结点的位移值。
一共可得12个关于
的方程组，联立求解可得：
（4-2-2）
形函数矩阵:
式中形函数:
（4-2-3）（i=1234）
在上面的推导中,我们仍然选用了局部坐标（无因次坐标）。
局部坐标与整体坐标的关系为:
四、单元的几何矩阵[B]和力矩阵[S]
1．几何矩阵[B]
由前可知
将（4－2－3）代入（4-2-4）得到几何矩阵：
（4-2-5）
或以子块形式表示：
[B]=[B1B2B3B4]。
式中：
2.力矩阵[S]
由基本方程（4-2-5）可得到：
（4-2-6）
称为力矩阵，把单元的四个结点坐标分别代入4-2-4，求得
后，即可获得
，各节点力矩阵
的显式：
五、单元刚度矩阵
由一般公式得:
。
将几何矩阵[B]和弹性矩阵[D]的表达式代入，积分可得薄板弯曲问题矩形单元的单元刚度矩阵的显示：
六、荷载等效变换
由荷载等效变换的一般公式可得
1．法向均布荷载q
代入上述公式得：
2．单元中心点受法向集中力P
代入上述公式可得：
七、位移边界条件
对称、固定边和简支边上支点的已知位移条件如下：
对称轴:
法线转角=0
固定边:
挠度=0（或已知值）
边线转角=0（或已知值）
法线转角=0（或已知值）
简支边:
自由边上节点的挠度、边线和法线转角均为特定参数，同部节点一样。
与板铰接的固定立柱，其节点挠度Ｗ=0，也可以是已知值。
八、计算例题
例题1:
计算图示四边固定方板
方板的边长为l，厚度为t，弹性模型量为E，波松比μ=0.3，全板承受均布法向荷载ｑ，求薄板中的挠度和力。
单元划分：
为了说明解题方法，采用最简单的网络2×
2，
即把方板分成四个矩形单元。
由于对称性，只需计
算一个单元，例如，计算图中有阴影的单元，单元
的节点编号为１，２，３，４。
此时，单元的a,b是
计算节点荷载:
由前面的均布荷载计算公式得：
边界条件：
边界23和34为固定边，因此节点2,3,4的挠度、边线和法线转角均为零。
边界12和14为对称轴，因此θx1=0、θy1=0。
于是，在4个节点和12个位移分量中,只有一个待求的未知量
结构的代数方程组：
这是一个单元的计算题目，单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵。
引入支承条件后，在总刚度矩阵中只取第一行、列元素，在方程组右端项中只保留第一个元素。
于是结构的代数方程为：
同此解出
其中
力:
利用式（4-2-6）可求得方板中点力矩为：
由表看出，网格越密，计算结果越接近于精确答案。
还可看出，位移的精度一般比力的精度高，这是因为在位移法中，位移是由基本方程直接求出的，而力则是根据位移间接求出的。
4.3薄板有限元程序设计
一、总框图
根据弯曲板有限元分析方法的解题过程，可写出其总框图如下：
┌───────┐
│输入原始数据│
│orCAI│
└───┳───┘┌──────┐
↓┌──┤算等效结点力│
┌───┻───┐│└──────┘
│形成荷载列阵├←┘┌─────┐
│├←───┤形成单元│
└───┳───┘┌─┤定位向量├─┐
↓│└─────┘│
┌───┻───┐││
│形成总刚├←─┘┌─────┐│
│├←───┤单刚││
└───┳───┘└─────┘│
↓│
┌───┻────┐│
│解方程输出位移││
└───┳────┘│
↓┌──────┐│
┌───┻───┐│几何矩阵[B]││
│├←───┤弹性矩阵[D]││
│计算单元力等│└──────┘│
│├←───────────┘
└───┳───┘
↓
┌──┻──┐
│结束│
└─────┘
下面结合程序对框图中的容加以说明。
二、子框图
１、单元坐标结点编号及单刚形式。
为了取挠度向下为正，又能与前述坐标系统统一，特将前述坐标前翻180°
（如图）
为了能适用板的弹型性分析,程序采用了应力元和弯曲元的组合形式，即每个结点考虑5个位移分量:
U,V,W,θx,θy,前2个为平面应力问题的未知量,后3个为弯曲板的结点未知量。
当只作弹性分析时，平面应力元和弯曲元是非藕连的，即单刚的两个副块垣为0,单刚的形式为：
u1v1…u4v4w1θx1θy4…w4θx4θy4
┌┐
│平面应力元│0│
[K]e=│（8×
8）││
├──────┼──────────────┤
││弯曲元│
│0│（12×
12）│
└┘
程序中单刚数组为DK（20,20）,子程序:
SubroutineDG（A,B,E,T,U）为其形成单刚的子程序。
２、自动形成单元编号信息（单元信息数组：
[IB]）。
３、结点定位向量。
４、形成荷载列向量。
（a.结点力；
b.非结点力（只考虑均布力））
５、总刚，SubroutineZG（M,N,LD,A,B
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