小学五年级奥数讲义教师版30讲全Word文件下载.docx

1、例 2 将 19这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立：=5568。解：将 5568质因数分解为 5568=26 3 29。由此容易知道，将 5568分解为两个两位数的乘积有两种：58 96和 64 87，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12 464，16 348，24 232，29 192，32 174，48 116。显然，符合题意的只有下面一种填法：174 32=58 96=5568。例 3 在 443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被 573整除。先用 443000 除以 573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000573=77371 推知，443000+

2、（573-71）=443502 一定能被 573 整除，所以应添 502。例 4 已知六位数 3344 是 89的倍数，求这个六位数。因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是 4，推知商的个位是 6；由左下式知，十位相减后的差是 1，所以商的十位是 9。这时，虽然 89 96=8544，但不能认为六位数中间的两个内是 85，因为还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式所示，a可能是 6 或 7，所以 b只可能是 7或 8。由左、右两边做除法的商，得到商是 3796 或 3896。由 3796 89=337844，3896 89=346744

3、 知，商是 3796，所求六位数是 337844。例 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。先看竖式的个位。由 Y+N+N=Y 或 Y+10，推知 N要么是 0，要么是5。如果 N=5，那么要向上进位，由竖式的十位加法有 T+E+E+1=T 或 T+10，等号两边的奇偶性不同，所以 N5，N=0。此时，由竖式的十位加法 T+E+E=T或 T+10，E不是 0 就是 5，但是 N=0，所以 E=5。竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为 N=0，所以 I0，推知 I

4、=1，O=9，说明百位加法向千位进2。再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进 1，百位加法向千位进 2，且 X0 或1，所以 R+T+T+122，再由 R，T都不等于 9 知，T只能是 7或 8。若 T=7，则 R=8，X=3，这时只剩下数字 2，4，6没有用过，而 S 只比 F大1，S，F不可能是 2，4，6中的数，矛盾。若 T=8，则 R 只能取 6 或 7。R=6 时，X=3，这时只剩下 2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7 时，X=4，剩下数字 2，3，6，可取 F=2，S=3，Y=6。所求竖式见上页右式。解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目

5、是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40，10，10，60，而 40+10+10 正好是 60，真是巧极了！例 6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进 1，所以 E=9，A=1，B=0。如果个位加法不向上进位，那么由十位加法 1+F=10，得 F=9，与 E=9 矛盾，所以个位加法向上进 1，由 1+F+1=10，得到 F=8，这时 C=7。余下的数字有 2，3，4

6、，5，6，由个位加法知，G比 D大 2，所以 G，D 分别可取 4，2或 5，3 或 6，4。所求竖式是 解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习 1 1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是 621819，求原来的四位数。621819（100-1）=6281。2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：（1）A B（2）A B A B +B C A -A C A A B C B A A

7、 C （1）由百位加法知，A=B+1；再由十位加法 A+C=B+10，推知 C=9，进而得到A=5，B=4（见上右式）。（2）由千位加法知 B=A-1，再由个位减法知 C=9。因为十位减法向百位借 1，百位减法向千位借 1，所以百位减法是（10+B-1）-A=A，化简为 9+B=2A，将 B=A-1 代入，得 A=8，B=7（见右上式）。3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1 2 3 4 5 6 7 8 9。1（2 3 4 5 6 7 8 9）=90720。4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：1 2 3 4 5 6 7 8 9=2.8。1（2 3）4（5 6 7 8）9=

8、2.8。5.将 19分别填入下式的中，使等式成立：=3634。提示：3634=2 23 79。46 79=23 158=3634。6.六位数 391是 789 的倍数，求这个六位数。仿照例 3。391344。7.已知六位数 7888 是 83的倍数，求这个六位数。仿例 4，商的后 3位是 336，商的第一位是 8或 9。774888。第 2讲 数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求 abcde.1abcde 3=abcde1 分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个字母所

9、代表的数码。现在，我们从另一个角度来解。1abcde与 abcde1 只是 1 所在的位置不同，设 x=abcde则算式变为 （100000+x）3=10 x+1，300000+3x=10 x+1，7x=299999，x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。1 2 4 8 1 8 1 1 2 4 9 9 2 1 0 0 4 4 求竖式。例 3 左下方的除法竖式中只有一个 8，请在内填入适当的数字，使除法竖式成立。例 4 解：竖式中除数与 8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位 数，所以 x=112，

10、被除数为 989 112=110768。右上式为所求竖式。代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例 4 在内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看 出，除数与商的后三位数的乘积是 1000=23 53 的倍数，即除数和商的后三位数一个是 23=8的 倍数，另一个是 53=125 的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是 8的倍数。又由竖式特点知 a=9，从而除数应是 96 的两位数的约数，可能的取值有 96，48，32，24和 16。因为，c=5，5与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能

11、是 16，进而推知b=6。因为商的后三位数是 125的奇数倍，只能是 125，375，625 和 875 之一，经试验只能取 375。至此，已求出除数为 16，商为 6.375，故被除数为 6.375 16=102。上页右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现 n个 0，则在除数和商中，一个含有因子 2n（不含因子 5），另一个含有因子 5n（不含因子 2），以此为突破口即可求解。例 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数。由竖式（1）可以看出被除数为 10*0（见竖式（1）

12、，竖式（1）的除数为 3或 9。在竖式（2）中，被除数的前两位数 10不能被整数整除，故除数不是 2或 5，而被除数的后两位数*0能被除数整除，所以除数是 4，6或 8。当竖式（1）的除数为 3时，由竖式（1）知，a=1 或 2，所以被除数为 100*0或 101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 4，被除数为 10020；当竖式（1）的除数为 9时，由能被 9 整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为 8。因为竖式（2）的除数只能是 4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有 10080，10260，10440 和

13、 10620四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 8，被除数为 10440。所以这个五位数是 10020或 10440。练习 2 1.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的 答案（1）4285；（2）461538。7（1000A+B）=6（1000BA），化简后得 538A=461B，由于 538与 461 互质，且 A，B均为三位数，所以 A=461，B=538。所求六位数是 461538。2.用代数方法求解下列竖式：3.在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：8 7 .）.）.）.8 0 0 0 答案（1）124 81=10044；（2）117684 12=9807。（1）设被乘数为 a，由 8a999，81a10000，推知所以 a=124。（2）根据竖式特点知，商是 9807。设除数是 a，根据竖式特点由 8a100，9a100，推知 所以 a=12。3.答案（1）先将竖式化为整数除法竖式如左下式：易知 f=2，g=0；由 g=0知 b，d 中有一个是 5，另一个是偶数而 f=2，所以b=5，进而推知 d=6；再由 d=6，f=2知 a=2 或