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北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义勾股定理逆定理及应用含答案Word下载.docx

1、如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形: 3勾股数:满足的三个正整数,称为勾股数(1)3、4、5;6、8、10;9、12、15;12、16、20;15、20、25等(2)是组勾股数,则(k为正整数)也是一组勾股数.(3)3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;11、60、61等(4),(n为大于1的自然数)(5),(,且m和n均为正整数)模块二:勾股定理逆定理及应用1勾股定理的逆定理:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么前两边的夹角一定是直角即在中,如果,那么是直角三角形2勾股定理的常见题型模块三:例题精讲(1)勾股证明的方法成百上千种,其中几何原本中的证法非常经典

2、,是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的(如图所示),如果直角三角形ABC的三边长为a,b,c(c为斜边),以这三边向外作三个正方形,试利用此图证明(2)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为_【解析】(1)如上图可知:, ,同理,(2)49cm2(1)若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的( )A1倍 B2倍 C3倍 D4倍(2)若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数,则这个三角形的周长为_(3)下面几组数:7,8,9;12,9,15;,,2mn(m,n均为正整数,);,

3、其中能组成直角三角形的三边长的是( )A B C D(1)B;(2)可知三边为3,4,5,所以周长为12;(3)B;容易知道错误正确,对于,由所以所以,以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形答案选B中,若,如图3-1,根据勾股定理,则若不是直角三角形,如图3-2,;如图3-3,请你类比勾股定理,试猜想与的关系,并证明你的结论图3-1 图3-2 图3-3【解析】图2猜想:证明:过点A作于D,设,即,故图3猜想:过B作,交AC的延长线于D设CD为x,则有根据勾股定理,得即,(1)如果直角三角形的两边长为4、5,则第三边长为_(2)如果直角三角形的三边长为10、6、x,则最短边上的高为_(3)若,

4、则以a、b为边的直角三角形的第三边为_(1)3或;(2)8或10;(3)或在中,高,则三角形的周长是_【解析】32或42【提示】题型:已知三角形的两边及第三边高求第三边,B卷填空必考题,一般题目无图,为易错题,切记要分类讨论,分形内高和形外高(1)如图6-1,四边形ABCD中,求四边形ABCD的面积(2)如图6-2,在四边形ABDC中,求该四边形面积图6-1 图6-2(1);(2)96四边形ABDC的面积为96连接BC,根据勾股定理可得,因为,所以为直角三角形,故四边形ABDC的面积(1)如图,梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE位置

5、,BD长0.5米,则梯子顶端A下落了_米(2)梯子靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离2米,梯子的顶端B到地面的距离为7米,现将梯子的底端向外移动到C,使梯子底端C到墙根O的距离等于3米,同时梯子的顶端B下降至D,那么BD()A等于1米 B大于1米 C小于1米 D以上结果都不对(3)如图,梯子AB斜靠在墙面上,当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时,梯子B沿CB方向滑动y米,则x与y的大小关系是()A B C D不确定(1)0.5;(2)C;(3)选B,设米,由勾股定理得:化简得,(1)若直角三角形斜边长为4,周长为,则三角形面积等于_(2)如图,中,于点D,若,请求出的周长(2),解得,(1)已

6、知9-1,如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,如果,求EC的长(2)如图9-2,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在处,交AD于E,则DE的长度为_(3)如图9-3,矩形纸片ABCD的长,宽,沿EF将其折叠,使点D与点B重合,则折痕EF的长为_cm图9-1 图9-2 图9-3(1)由题意得,在中,应用勾股定理得,在中,应用勾股定理,设,得解得,即(2)设,因为,则,在中,由勾股定理可得:,即(3)设,因为,则,根据勾股定理得:,即,解得:;, (cm);若,且,求:的最小值【解析】如下图,不妨设,P为线段AB上的动点,于是,则问题转化为求点C,D之间距离的最小值当

7、P,C,D三点不共线时,有;当P,C,D共线时,于是点C,D之间距离的最小值为【教提示】数形结合,几何构造,将军饮马模块四:课后作业设计1、如图1-1,分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正方形,其面积分别用、表示,则不难证明(正三角形面积是边长平方的)(1)如图1-2,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用、表示,那么、之间有什么关系?(不必证明)(2)如图1-3,分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用、表示,请你确定、之间的关系并加以证明图1-1 图1-2 图1-3(1)设BC、CA、AB长分别为a、b、c,则,;(2)证明如下:显

8、然, 【点评】分别以直角三角形ABC三边为一边向外作“相似形”,其面积对应用、表示,则(设斜边所做图形面积为)2、已知a,b,c是三角形的三边长,(n为大于1的自然数),试说明为直角三角形【解析】因为,所以,所以为直角三角形3、如图,四边形ABCD中,且,则四边形ABCD的面积是()cm2A336 B144 C102 D无法确定 【解析】答案:B连接AC,运用勾股定理逆定理4、如图,一根长5米的竹篙AB斜靠在与地面垂直的墙上,顶端A距离墙根4米,若竹篙顶端A下滑1米,则底端B向外滑行了多少米?【解析】设竹篙顶端下滑1米到点,底端向外滑行到点由题意得AA1=1m,在中:即竹篙顶端A下滑1米,则底

9、端B向外滑行了1米5、(1)(在中,高,则_(2)如图,中,于点D,若,则的周长为_(1)24或84(分类讨论:行外高和行内高,对应例5)(2)(对应例8考查直角三角形与知二推二综合)6、(1)如图6-1,已知是直角边长为1的等腰直角三角形,以的斜边为直角边,画第二个等腰,再以的斜边为直角边,画第三个等腰,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是_(2)如图6-2,矩形ABCD中,如图所示折叠矩形纸片ABCD,使D点落在边AB上一点E处,折痕端点G、F分别在边AD、DC上,则当折痕端点F恰好与C点重合时,AE的长为_cm(3)若,且,则的最小值是_(1)由题意可得:第1个等腰直角三角形,中,斜边长,;第2个等腰直角三角形,中,斜边长;第3个等腰直角三角形,中,斜边长;依此类推,第n个等腰直角三角形中,斜边长为(2)F点与C点重合时(如图),在矩形ABCD中, , 由折叠的性质可得:,(3)答案:25(对应例题10,几何构造)

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