北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义勾股定理逆定理及应用含答案Word下载.docx
《北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义勾股定理逆定理及应用含答案Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义勾股定理逆定理及应用含答案Word下载.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义勾股定理逆定理及应用含答案Word下载.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/23/97d034dd-7d22-4fe5-ace2-4c47a27de31a/97d034dd-7d22-4fe5-ace2-4c47a27de31a1.gif)
如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形:
∴
3.勾股数:
满足的三个正整数,称为勾股数.
(1)3、4、5;
6、8、10;
9、12、15;
12、16、20;
15、20、25等.
(2)是组勾股数,则(k为正整数)也是一组勾股数.
(3)3、4、5;
5、12、13;
7、24、25;
9、40、41;
11、60、61等
(4),,(n为大于1的自然数)
(5),,(,且m和n均为正整数)
模块二:
勾股定理逆定理及应用
1.勾股定理的逆定理:
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么前两边的夹角一定是直角.即在中,如果,那么是直角三角形.
2.勾股定理的常见题型.
模块三:
例题精讲
(1)勾股证明的方法成百上千种,其中《几何原本》中的证法非常经典,是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的(如图所示),如果直角三角形ABC的三边长为a,b,c(c为斜边),以这三边向外作三个正方形,试利用此图证明.
(2)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为__________.
【解析】
(1)如上图可知:
,
,,
∴,同理,∴.
(2)49cm2.
(1)若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的().
A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
(2)若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数,则这个三角形的周长为________.
(3)下面几组数:
①7,8,9;
②12,9,15;
③,,2mn(m,n均为正整数,);
④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是().
A.①②B.②③C.①③D.③④
(1)B;
(2)可知三边为3,4,5,所以周长为12;
(3)B;
容易知道①错误②正确,对于③,由
所以.
所以,以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形.答案选B.
中,,,.若,如图3-1,根据勾股定理,则.若不是直角三角形,如图3-2,;
如图3-3,.请你类比勾股定理,试猜想与的关系,并证明你的结论.
图3-1图3-2图3-3
【解析】图2猜想:
.
证明:
过点A作于D,设,,
即,故.
图3猜想:
过B作,交AC的延长线于D.
设CD为x,则有.
根据勾股定理,得.
即,
∵,,∴,∴.
(1)如果直角三角形的两边长为4、5,则第三边长为________.
(2)如果直角三角形的三边长为10、6、x,则最短边上的高为________.
(3)若,则以a、b为边的直角三角形的第三边为________.
(1)3或;
(2)8或10;
(3)或.
在中,,,高,则三角形的周长是_________.
【解析】32或42.
【提示】题型:
已知三角形的两边及第三边高求第三边,B卷填空必考题,一般题目无图,为易错题,切记要分类讨论,分形内高和形外高.
(1)如图6-1,四边形ABCD中,,,,,,求四边形ABCD的面积.
(2)如图6-2,在四边形ABDC中,,,,,,求该四边形面积.
图6-1图6-2
(1);
(2)96.四边形ABDC的面积为96.
连接BC,根据勾股定理可得,
因为,所以为直角三角形,
故四边形ABDC的面积.
(1)如图,梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE位置,BD长0.5米,则梯子顶端A下落了________米.
(2)梯子靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离2米,梯子的顶端B到地面的距离为7米,现将梯子的底端向外移动到C,使梯子底端C到墙根O的距离等于3米,同时梯子的顶端B下降至D,那么BD( )
A.等于1米B.大于1米C.小于1米D.以上结果都不对
(3)如图,梯子AB斜靠在墙面上,,,当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时,梯子B沿CB方向滑动y米,则x与y的大小关系是( )
A.B.
C.D.不确定
(1)0.5;
(2)C;
(3)选B,设米,
由勾股定理得:
化简得,.
(1)若直角三角形斜边长为4,周长为,则三角形面积等于________.
(2)如图,中,,于点D,若,,请求出的周长.
(2),解得,.
(1)已知9-1,如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,如果,,求EC的长.
(2)如图9-2,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在处,交AD于E,,,则DE的长度为________.
(3)如图9-3,矩形纸片ABCD的长,宽,沿EF将其折叠,使点D与点B重合,则折痕EF的长为________cm.
图9-1图9-2图9-3
(1)由题意得,.
在中,应用勾股定理得,.
在中,应用勾股定理,设,
得.解得,即.
(2)设,因为,
则,,
在中,由勾股定理可得:
,∴,即.
(3)设,因为,
则,
根据勾股定理得:
,即,解得:
;
∴,∴,∴,∴,
(cm);
若,且,求:
的最小值.
【解析】如下图,不妨设,,,,,
P为线段AB上的动点,,于是,,,则问题转化为求点C,D之间距离的最小值.当P,C,D三点不共线时,有;
当P,C,D共线时,.
于是点C,D之间距离的最小值为.
【教提示】数形结合,几何构造,将军饮马.
模块四:
课后作业设计
1、如图1-1,分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正方形,其面积分别用、、表示,则不难证明.(正三角形面积是边长平方的)
(1)如图1-2,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用、、表示,那么、、之间有什么关系?
(不必证明)
(2)如图1-3,分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用、、表示,请你确定、、之间的关系并加以证明.
图1-1图1-2图1-3
(1)设BC、CA、AB长分别为a、b、c,则,;
(2).证明如下:
显然,,,,
∴.
【点评】分别以直角三角形ABC三边为一边向外作“相似形”,其面积对应用、、表示,则(设斜边所做图形面积为).
2、已知a,b,c是三角形的三边长,,,(n为大于1的自然数),试说明为直角三角形.
【解析】因为,
所以,所以为直角三角形.
3、如图,四边形ABCD中,,,,,且,则四边形ABCD的面积是( )cm2.
A.336B.144C.102D.无法确定
【解析】答案:
B.连接AC,运用勾股定理逆定理.
4、如图,一根长5米的竹篙AB斜靠在与地面垂直的墙上,顶端A距离墙根4米,若竹篙顶端A下滑1米,则底端B向外滑行了多少米?
【解析】设竹篙顶端下滑1米到点,底端向外滑行到点.
由题意得AA1=1m,,
在中:
即竹篙顶端A下滑1米,则底端B向外滑行了1米.
5、
(1)(在中,,高,则_______.
(2)如图,中,,于点D,若,,则的周长为________.
(1)24或84(分类讨论:
行外高和行内高,对应例5)
(2).(对应例8考查直角三角形与知二推二综合).
6、
(1)如图6-1,已知是直角边长为1的等腰直角三角形,以的斜边为直角边,画第二个等腰,再以的斜边为直角边,画第三个等腰,……,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是________.
(2)如图6-2,矩形ABCD中,,,如图所示折叠矩形纸片ABCD,使D点落在边AB上一点E处,折痕端点G、F分别在边AD、DC上,则当折痕端点F恰好与C点重合时,AE的长为________cm.
(3)若,且,则的最小值是________.
(1)由题意可得:
第1个等腰直角三角形,中,斜边长,;
第2个等腰直角三角形,中,斜边长;
第3个等腰直角三角形,中,斜边长;
依此类推,……第n个等腰直角三角形中,斜边长为.
(2)F点与C点重合时(如图),
∵在矩形ABCD中,,,
∴,,
由折叠的性质可得:
∴,
(3)答案:
25(对应例题10,几何构造).