1、)如图所示,其中侧视图是一个边长为的正三角形,则这个几何体的体积是 ( )4. 如果执行如图所示的框图,输入,则输出的数等于 ( )A B C. D 5. 已知点在由不等式组所确定的平面区域内,则点所在平面区域的面积是( )6.的展开式中只有第项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数是( )7. 在中,内角、对边分别为、,则的面积为( )8. 定义行列式运算,将函数的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值为( )9. 已知双曲线的右焦点为,过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点,点在第一象限,为坐标原点,若的面积为,则该双曲线的离心率为( )10. 已知三棱锥的各顶点都在以为
2、球心的球面上,且两两垂直,若, 则球心到平面的距离为 ( )11. 已知正数满足,则的取值范围是( )12. 对于曲线所在平面内的点,若存在以为顶点的角,使得对于曲线上的任意两个不同点恒成立,则称为曲线相对于的“界角”,并称最小的“界角”为曲线相对于的“确界角”,已知曲线(其中为自然对数的底数),为坐标原点,则曲线相对于的“确界角”为( )第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 从名志愿者中选出人,分别参加两项公益活动,每项活动人,则不同安排方案的种数为 (用数字作答)14. 若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 15. 在数列中,,如果是与的等
3、比中项,那么 16. 以下四个命题:设随机变量服从正态分布,若,则常数的值是;若命题“,使得成立” 为真命题,则实数的取值范围为;圆被直线分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为;已知,如果是的充分不必要条件,则实数的取值范围为,其中真命题的序号是 (把你认为真命题的序都填上)三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分10分)已知角、是的三个内角,、是各角的边对,若向量,且.(1)求的值;(2)求的最大值.18. (本小题满分12分)数列满足.(2)已知,若数列成等差数列,求实数; (3)求数列的前项和.19. (本小题满分12分)
4、在某次考试中,从中、乙两个班各抽取名学生的数学成绩进行统计分析,两个班成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于分的为及格.(1)用样本估计总体,请根据茎叶图对甲、乙两个班级的成绩进行比较;(2)求从甲班名学生和乙班名学生中各抽取一个,求有人及格的条件下乙班同学不及格的概率;(3) 从甲班人中抽取一人,乙班人中抽取人,人中及格人数记为,求的分布列和期望.20. (本小题满分12分)如图,四棱锥的底面是平行四边形,底面.(1)求证:;(2)点在棱上,满足,求二面角的余弦值.21. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知点,动点满足条件:的周长为,记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程;(2)已知点,经过
5、点且斜率为的直线与曲线两个不同交点和,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.22. (本小题满分12分)定义在上的函数满足,.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间;(3)如果满足,那么称比更靠近.当且时,试比较和哪个更靠近,并说明理由.第六次周考数学(理)试题参考答案一、选择题1-5: CABDB 6-10: DACCD 11-12:DB二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解:(1)由,且,即,即. (2)由余弦定理得,而,即有最小值.又有最大值(当且仅当时取等号)所以最的大值为.,令,则数列成等差数列,所以.(3)成等差数列,
6、 ,得. -得,19. 解:(1) 从茎叶图可以得到:中班的平均分为分;乙班平均分为分.甲班的方差乙班的方差,所以甲乙两班平均分相同,但是乙班比甲班成绩更集中更稳定.(本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分) (2)事件“从甲班名学生和乙班名学生中各抽取一人,已知有人及格”记;事件从甲班名学生和乙班名学生中各抽取一人,乙班同学不及格“记,则.(3)的取值为,分不列为期望.20. 解:(1)证明:因为底面平面. (2)连接,因为底面是平行四边形,.又底面,两两垂直.如图所示,以点为原点,以为轴的正方向,以为单位长度,建立空间直角坐标系.则.设,则,又,则,即,解得,则,.又,观察可知
7、二面角为钝角,故二面角的余弦值为.21. 解:(1)设由定义知,动点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆除去与轴的两个交点. (2)设直线的方程为,代入椭圆方程,得.整理,得. 因为直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,解得或.所以有两个交点的的取值范围为.设,则,由得. 由. , 所以与共线等价于,将代入上式,解得,所以存在常数,使得向量与共线. 22. 解:(1),即.又. (2) . 当时,函数在上单调递增;当时,由得时,单调递减;时,单调递增,综上,当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. (3)设,在上为减函数,又当时,当时,在上为增函数,又时,在上为增函数,. 当时,设,则在上为减函数,比更靠近.当时,设,则在时为减函数,在时为减函数,比更靠近.综上:当且时,比更靠近.
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