1、函数y=a(xh)2函数y=a(xh)2k函数y=ax2 +bx+c目标几何变换二次函数的图象和性质() y=a(x-h)2+k (a0)的图象和性质解析式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k图象aa0,开口向上;0,开口向下. 同前同前形状相同抛物线的形状大小相同.越大,开口越小;越小, 开口越大.同前.顶点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)对称轴y轴直线x=h函数最值若a0,当x=0时,y有最小值是0.若a0时,y随x的增大而增大.0,当x0时,y随x的增大而增大,当x0时,y随x的增大而减小.0,当xh时,y随x的增大而减小,当xh时,y随x的增大而
2、增大.0,当xh时,y随x的增大而增大,当xh时,y随x的增大而减小.平移y=ax2+k的图象是由y=ax2的图象沿y轴向上或向下平移个单位得到的,k为正向上,k为负向下.y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象沿x轴向左或向右平移个单位得到的,h为正向右,h为负向左.y=a(x-h)2+k的图象是由y=ax2的图象沿x轴向左或向右平移个单位,h为正向右,h为负向左;再沿直线x=h向上或向下平移个单位,k为正向上,k为负向下得到的. () y=ax2+bx+c (a图 象1.开口方向0,开口向上0,开口向下2.形状相同抛物线的形状大小相同. 越大, 开口越小; 越小, 开口越大.3.顶点坐
3、标4.对称轴直线5.函数最值0,当时,y有最小值是.0,当时,y有最大值是.6.增减性0,当时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而增大.0,当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小.7.与坐标轴的交点坐标与x轴交点坐标0与x轴有两个公共点 (x1, 0),(x2, 0);=0与x轴有一个公共点 (, 0);0与y轴交点在y轴正半轴;c0与y轴交点在y轴负半轴;c=0抛物线过原点.确定与x轴公共点个数:0与x轴有两个公共点(x1, 0), (x2, 0);=0与x轴有一个公共点(, 0);特别地a+b+c=0图象过点(1,0); a-b+c=0图象过点(-1,0)例题1、已知二次
4、函数的解析式是. (1)在直角坐标系中,用五点法画出它的图象;(2)当x为何值时,函数值y=0?(3)当-3x 0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于; 当m 时,y随x的增大而减小; 当m 0时,函数图象经过同一个点.其中正确的结论有( B )A. B. C. D. 5、二次函数yax2bxc的图象如图所示,下列结论错误的是( B )A. ab0B. ac0C. 当x2时,函数值随x增大而增大;当x2时,函数值随x增大而减小. -1D. 二次函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2bxc0的根.6、如图是二次函数y=ax2+bx+c (a0)在平面直角坐标系中的图象,根据图形
5、判断 0;+0;2-0;2+8a4ac中,正确的是(填写序号) O7、已知二次函数()的图象如图所示,有下列结论:( D ); 其中,正确结论的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 48、函数在同一直角坐标系内的图象大致是( C ) 9、抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为( D )10、矩形ABCD中,动点E从点C开始沿边CB向点以2cm/s的速度运动至点B停止,动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止如图可得到矩形CFHE,设运动时间为x(单位:s),此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位
6、:),则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的( A )(三) 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移、翻折、旋转1、平移:a不变. 要抓顶点的平移或其它关键点的平移,这是由于函数图象的平移是整体的平移,每个点都做相同的变换,还可以引申到直线、双曲线的平移在解题时,一定分清移动谁,不妨画草图. 2、翻折:要抓顶点的变化及其它关键点的变化.结论:抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式是y= -ax2-bx-c 抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线解析式是y= ax2-bx+c3、绕某一定点旋转180:要抓顶点的变化,a取相反数. 结论:抛物线y=a(x-h)2+k绕
7、顶点旋转180后的解析式为y= -a(x-h)2+k1、观察右面二次函数yax2+bx+c的图象,回答下面的问题:(1)判断a,b,c和的符号并写出顶点坐标;(2)把抛物线向下平移6个单位,再向左平移2个单位,求平移后抛物线的解析式;(3)把抛物线沿x轴翻折,求翻折后抛物线的解析式.2、将抛物线绕它的顶点旋转180,所得抛物线的解析式是( D ) A BC D3、将抛物线绕原点O旋转180,则旋转后抛物线的解析式为( D ) A. B. C. D. 4、如图,两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( A ) A8 B6 C10 D45、把抛物线y=x+bx+c向
8、右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y= x-3x5,则( A)Ab=3,c=7 Bb=6,c=3Cb=9,c=5 Db=9,c=216、如图,点A,B的坐标分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为 -3,则点D的横坐标最大值为( D ) A3 B1 C5 D8 7、如图,抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0),B(2,2). 连结OB,AB. (1)求该抛物线的解析式; (2)求证:OAB是等腰直角三角形;(3)将OAB绕点O按顺时针方向旋转l35得到OAB,写出OAB 的边AB的中点P的坐
9、标试判断点P是否在此抛物线上,并说明理由.8、已知关于的一元二次方程有实数根,为正整数(1)求的值;(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于的二次函数的图象向下平移个单位,求平移后的图象的解析式;(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答:当直线与此图象有两个公共点时,的取值范围. 9、已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点. (1)求C1的顶点坐标; (2)将C1向下平移若干个单位后,得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交点为A(-3,0),求C2的函数关系式,并求C2与x轴的另一个交点坐标; (3)若的取值范围.(四) 确定二次函数解析式一般
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