1、10.已知数列的前项和为,则下列选项正确的是( )A B C. D第卷(共90分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分, 单空题每题4分,共36分.11. (,)的最大值为 12.若,满足,的最小值为 ;的最大值为 13.若,则 , 14.元宵节灯展后,如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,共有 种不同取法(用数字作答)15.在锐角中,内角,的对边分别为,且,则 16.在中,且,则的取值范围是 17.已知函数(),若存在三个互不相等的实数,使得成立,则实数的取值范围是 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分14分)已知函
2、数(,)的部分图象如图所示,其中,分别为函数图象相邻的一个最高点和最低点,两点的横坐标分别为1和4,且.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;(2)当时 ,求函数的值域.19. (本题满分15分)如图,的外接圆的半径为,圆所在的平面,且,.(1)证明:平面平面;(2)试问线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置,若不存在,请说明理由.20. (本题满分15分)已知等比数列满足条件,数列满足,(,)(1)求数列,的通项公式;(2)若数列满足,求的前项和.21. (本题满分15分)如图,过抛物线()上一点,作两条直线分别交抛物线于点,若与的斜率满足.直线的斜率为定值
3、,并求出该定值;(2)若直线在轴上的截距,求面积的最大值.22. (本题满分15分)已知函数有两个极值点,().(1)求的取值范围;(2)证明:.数学参考答案一、选择题题号12345678910答案ACDB10.因为,令,在,故.设,则,在上单调递增,即,.令,则,综上,选B11.,-212.4,313.15,3214.9015.,16.17.17.解:若存在三个互不相等的实数,使得成立,等价为方程存在三个不相等的实根,当时,所以,解得,所以当时,只有一个根;所以当时,方程存在两个不相等的实根,即,设,所以,令,解得,当时,解得,在上单调递增;当时,解得,在上单调递减.又,因为存在两个不相等的
4、实根,所以.故答案为.18.解:(1)由图可知,所以,又因为,所以,又因为(),因为,所以.所以函数,令,解得,所以函数的单调递增区间Wie()(2)因为,所以又因为,19.(1)证明:平面,平面,.,.的半径为,是直径,.又平面,故平面,平面,平面平面.(2)解:方法1:假设点存在,过点作于,连结作于,连结,平面平面,平面,为与平面所成的角.设,计算易得,故.由,解得(舍去),故,从而满足条件的点存在,且.方法2:建立如图所示的空间直角坐标系,则,则,易知平面的法向量为,假设点存在,设,则,再设,即,从而.设直线与平面所成的角为,则解得或,其中应舍去,而,故满足条件的点存在,且点的坐标为.2
5、0.解:(1)设的通项公式为,由已知,得,由已知,即,解得,所以 的通项公式为.因为,(,),累加可得.(2)当时,当时,由-得到,综上,.,由-得到,21.(1)证明:由抛物线()过点,得,即.设,因为,所以.因为,代入上式得到,通分整理得,设直线的斜率为,由,得().由于,将其代入上式得.设直线的方程为,由,得,因为,所以,且,又点到直线的距离为,令,其中,则由,当时,所以单调递减;当,所以单调递增,故的最大值为,故的面积的最大值为.22.解:(1),设,则.当时,所以在上单调递减,当时,所以在上单调递增,所以当时,取得最小值.因为函数有两个极值点,所以函数有两个零点,所以,所以,此时,设,则.因为当时,;所以在上单调递减,在上单调递增.所以,即.综上,的取值范围是.由(1)知,是方程的两个根,所以,且当时,所以是上的减函数,因为,所以,即,
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