1、解:设正三角形外接圆O1的半径为,正六边形外接圆O2的半径为,由题意得:,;O1的面积O2的面积13。【例2】已知扇形的圆心角为1500,弧长为,求扇形的面积。此题欲求扇形的面积,想到利用扇形的面积公式,由条件1500,看到,不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径,怎么求?由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。设扇形的半径为,则,1500, , 。【例3】如图,已知PA、PB切O于A、B两点,PO4cm,APB600,求阴影部分的周长。此题欲求阴影部分的周长,须求PA、PB和的长,连结OA、OB,根据切线长定理得PAPB,PAOPBORt,APOBPO300,在RtPAO中可求出PA的长
2、,根据四边形内角和定理可得AOB1200,因此可求出的长,从而能求出阴影部分的周长。连结OA、OBPA、PB是O的切线,A、B为切点PAPB,PAOPBORtAPOAPB300在RtPAO中,APOAPO2,PBAPO300,PAOPBORtAOB300,阴影部分的周长PAPBcm答:阴影部分的周长为cm。【例4】如图,已知直角扇形AOB,半径OA2cm,以OB为直径在扇形内作半圆M,过M引MPAO交于P,求与半圆弧及MP围成的阴影部分面积。要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积,不可能直接用公式,只有用“割补法”,连结OP。连结OPAOOB,MPOA,MPOB又OMBM1,OPOA216
3、00,2300PM而,设PM交半圆M于Q,则直角扇形BMQ的面积为 探索与创新:【问题】如图,大小两个同心圆的圆心为O,现任作小圆的三条切线分别交于A、B、C点,记ABC的面积为,以A、B、C为顶点的三个阴影部分的面积分别为、,试判断是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由。这是一道开放性试题,所考查的结果是否为定值,我们首先应明白已知条件中有哪些定值。为此设大小圆半径分别为和(和均为定值),小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值,设这个定值为P,如图有:,又 把代入得:(定值) 为定值,这个定值为。跟踪训练:一、选择题:1、正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为
4、( )A、 B、 C、 D、2、如图,两同心圆间的圆环的面积为,过小圆上任一点P作大圆的弦AB,则 的值是( ) A、16 B、 C、4 D、3、如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上一点,且为半圆的,设扇形AOC、COB、弓形BC的面积分别为、,则下列结论正确的是( ) A、 B、C、 D、 4、如图,O1和O2外切于P,它们的外公切线与两圆分别相切于点A、B,设O1的半径为,O2的半径为,的长为,的长为,若,则( ) A、 B、 C、 D、5、如图,A是半径为1的O外一点,OA2,AB切O于B,弦BCOA,连结AC,则图中阴影部分的面积为( ) A、 B、 C、 D、 6、如图,在ABC中,
5、BAC300,AC,BC,以直线AB为轴旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的表面积是( ) A、 B、 C、 D、二、填空题:1、扇形的圆心角为1500,扇形的面积为cm2,则扇形的弧长为 。2、一个圆锥形零件底面圆半径为4 cm,母线长为12 cm,则这个零件的展开图的圆心角的度数是 。3、如图,正ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心,要使扇形ODE绕O无论怎样旋转,ABC与扇形重叠部分的面积总等于ABC的面积的,则扇形的圆心角应为 。 4、如图,A、B、C、D是圆周上的四个点,且弦AB8,CD4,则图中两个弓形(阴影)面积的和是 (结果保留三个有效数字)。5、目前,全国人民都在积极支持北
6、京的申奥活动,你们知道吗?国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成,每个圆环的内、外圆直径分别为8和10,图中两两相交成的小曲边四边形(阴影部分)的面积相等,已知五个圆环覆盖的面积是122.5平方单位,请你计算出每个小曲边四边形的面积为 平方单位(取3.14)三、计算或证明题:1、如图,O内切于ABC,切点分别为D、E、F,若C900,AD4,BD6,求图中阴影部分的面积。 2、如图,在RtABC中,C900,O点在AB上,半圆O切AC于D,切BC于E,AO15cm,BO20cm,求的长。3、如图,有一个直径是1米圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC,求:(1)被剪掉(阴影)部分的面积;(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面半径是多少?4、如图,O与外切于M,AB、CD是它们的外公切线,A、B、C、D为切点,OA于E,且AOC1200。(1)求证:的周长等于的弧长;(2)若的半径为1cm,求图中阴影部分的面积。跟踪训练参考答案DABCBD 1、cm;2、1200;3、1200;4、15.4;5、2.351、;2、;3、(1)平方米,(2)米;4、(1)证明:由已知得AO600,ABO为直角梯形,设O与的半径分别为、,则cos600,即,的周长为,而,的周长等于的弧长。(2)cm2。
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