初中数学竞赛专题选讲(初三.3)配方法文档格式.doc

1、把x4+4 因式分解.原式x4+44x24x2=（x2+2）24x2这是由a2+b2配上2ab. 二次根式化简常用公式：，这就需要把被开方数写成完全平方式.化简.我们把52写成 2232（）2.这是由2 ab配上a2+b2. 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a20， 当a=0时，a2的值为0是最小值.求代数式a2+2a2 的最值.a2+2a2= a2+2a+13=（a+1）23当a=1时, a2+2a2有最小值3.这是由a22ab配上b2 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4

2、y+5=0 的解x, y. 解：方程x2+y2+2x-4y+140.配方的可化为（x+1）2+（y2）2=0. 要使等式成立，必须且只需.解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题例1. 因式分解：a2b2a2+4abb2+1.解：a2b2a2+4abb2+1a2b2+2ab+1+（a2+2abb2）（折项，分组）（ab+1）2（ab）2（配方）（ab+1+a-b）（ab+1-a+b）（用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例2. 化简下列二次根式：； ；.化简的关键是把被开方数配方2.=2.例3. 求下列代数式的最大

3、或最小值：x2+5x+1； 2x26x+1 . x2+5x+1x2+2x+1（x+）2.（x+）20，其中0是最小值.即当x=时，x2+5x+1有最小值.2x26x+1 2（x2+3x-）=2（x2+2x+） 2（x+）2+2（x+）20，其中0是最大值，当x=时，2x26x+1有最大值.例4. 解下列方程：x4x2+2xy+y2+1=0 ； x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.（x42x21）（x2+2xy+y2）=0 . （折项，分组） （x21）2+（x+y）2=0.（配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得 或 x2+2xy+y2+6x+6y+9+y22

4、y+1=0 . （折项，分组）（x+y）2+6（x+y）+9+y22y+1=0.（x+y+3）2+（y1）20.（配方）例5. 已知：a,b,c,d 都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2,则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.（1986年全国初中数学联赛题）mn=（ a2+b2）（ c2+d2）= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c22abcd （分组，添项）=（ac+bd）2+（ad-bc）2例6. 求方程x2+y2-4x+10y+16=0的整数解x2-4x+16+y2+10y+25=25 （添项

5、）（x4）2+（y+5）225（配方）25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.由得同理，共有12个解三、练习1. 因式分解：x4+x2y2+y4 ； x2-2xy+y2-6x+6y+9 ； x4+x2-2ax-a2+1.2. 化简下列二次根式：（x）；（1x2）；（146）（3）；（）2.3求下列代数式的最大或最小值：2x2+10x+1 ； x2+x-1.4.已知：a2+b24a2b+5 . 求：的值.5.已知：a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c的值.6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式值的正负.（1987年全国初中数学联赛题）7.已知：x= . 求：. （1986年全国初中数学联赛题）练习题参考答案1.（xy3）2 2. 8，0.5x，32，2，3，72x（x3）3.当x=时，有最小值x=1时，有最大值4.a=2,b=1 代数式值是325.136.负数。由（a+b+c）2=0得出ab+ac+bc4. 值为5。先化简已知为4，代入分母值为2，可知x28x+13=0分子可化为（x2+2x+1）（x28x+13）+10 105. 配方（ab）2+（bc）2=06. 7. （x-3）2+（y+5）2=9