初中数学竞赛专题选讲(初三.3)配方法文档格式.doc
《初中数学竞赛专题选讲(初三.3)配方法文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学竞赛专题选讲(初三.3)配方法文档格式.doc(5页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![初中数学竞赛专题选讲(初三.3)配方法文档格式.doc](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/21/c8e6a5c2-be95-4273-ad03-b4b7e7749ad9/c8e6a5c2-be95-4273-ad03-b4b7e7749ad91.gif)
把x4+4因式分解.
原式=x4+4+4x2-4x2=(x2+2)2-4x2=……
这是由a2+b2配上2ab.
②二次根式化简常用公式:
,这就需要把被开方数写成完全平方式.
化简.
我们把5-2写成2-2+3
=-2+
=(-)2.
这是由2ab配上a2+b2.
③求代数式的最大或最小值,方法之一是运用实数的平方是非负数,零就是最小值.即∵a2≥0,∴当a=0时, a2的值为0是最小值.
求代数式a2+2a-2的最值.
∵a2+2a-2=a2+2a+1-3=(a+1)2-3
当a=-1时,a2+2a-2有最小值-3.
这是由a2±
2ab配上b2
④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零,则每一个非负数都是零,有时就需要配方.
例如:
:
求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x,y.
解:
方程x2+y2+2x-4y+1+4=0.
配方的可化为 (x+1)2+(y-2)2=0.
要使等式成立,必须且只需.
解得
此外在解二次方程中应用根的判别式,或在证明等式、不等式时,也常要有配方的知识和技巧.
二、例题
例1.因式分解:
a2b2-a2+4ab-b2+1.
解:
a2b2-a2+4ab-b2+1=a2b2+2ab+1+(-a2+2ab-b2) (折项,分组)
=(ab+1)2-(a-b)2 (配方)
=(ab+1+a-b)(ab+1-a+b) (用平方差公式分解)
本题的关鍵是用折项,分组,树立配方的思想.
例2.化简下列二次根式:
①;
②;
③.
化简的关键是把被开方数配方
①==
==2+.
②===
==.
③=
=
===
=2-.
例3.求下列代数式的最大或最小值:
① x2+5x+1;
② -2x2-6x+1.
①x2+5x+1=x2+2×
x+-+1
=(x+)2-.
∵(x+)2≥0,其中0是最小值.
即当x=时,x2+5x+1有最小值-.
②-2x2-6x+1=-2(x2+3x-)
=-2(x2+2×
x+-)
=-2(x+)2+
∵-2(x+)2≤0,其中0是最大值,
∴当x=-时,-2x2-6x+1有最大值.
例4.解下列方程:
①x4-x2+2xy+y2+1=0;
②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.
①(x4-2x2+1)+(x2+2xy+y2)=0.(折项,分组)
(x2-1)2+(x+y)2=0. (配方)
根据“几个非负数的和等于零,则每一个非负数都应等于零”.
得
∴或
②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2-2y+1=0.(折项,分组)
(x+y)2+6(x+y)+9+y2-2y+1=0.
(x+y+3)2+(y-1)2=0. (配方)
∴ ∴
例5.已知:
a, b, c, d都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和,试写出其形式. (1986年全国初中数学联赛题)
mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2++a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2-2abcd(分组,添项)
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
例6.求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解
x2-4x+16+y2+10y+25=25(添项)
(x-4)2+(y+5)2=25 (配方)
∵25折成两个整数的平方和,只能是0和25;
9和16.
∴
由得
同理,共有12个解……
三、练习
1.因式分解:
①x4+x2y2+y4;
②x2-2xy+y2-6x+6y+9;
③x4+x2-2ax-a2+1.
2.化简下列二次根式:
① (-<x<
);
② (1<
x<
2);
③;
④;
⑤;
⑥;
⑦(14+6)÷
(3+);
⑧()2+.
3求下列代数式的最大或最小值:
①2x2+10x+1;
②-x2+x-1.
4.已知:
a2+b2-4a-2b+5.求:
的值.
5.已知:
a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29.求:
a+b+c的值.
6.已知:
实数a,b,c满足等式a+b+c=0,abc=8.
试判断代数式值的正负. (1987年全国初中数学联赛题)
7.已知:
x=.
求:
. (1986年全国初中数学联赛题)
练习题参考答案
1. ②(x-y-3)2
2.①8, ②0.5x, ③3-2, ④, ⑤2+, ⑥
⑦3+, ⑧7-2x (x≤3)
3. ①当x=-时,有最小值- ②x=1时,有最大值-
4. a=2, b=1代数式值是3+2
5. ±
13 6.负数。
由(a+b+c)2=0 得出ab+ac+bc<
4.值为5。
先化简已知为4-,代入分母值为2, 可知x2-8x+13=0
分子可化为(x2+2x+1)(x2-8x+13)+10=10
5.配方(a-b)2+(b-c)2=0
6.① ② ③
7. ① ②(x-3)2+(y+5)2=9 ……