数值积分上机实验报告_精品文档Word文档下载推荐.docx

1、1.2实现算法结果：分别利用梯形公式和Simpson公式计算结果如下：（下表中E1f=-Tf,E2f=-Sf. 此处为MATLAB中的数,可以认为具有足够大的精度）ihiT（f）E1（f）S（f）E2（f）13.0000000000000000.141621/23.1000000000000000.04163.1333333333333330.008341/43.1311764705882350.010423.1415686274509802.4026e-0561/63.1369630664712640.004633.1415917809360438.7265e-0781/83.1389884

2、944910890.002603.1415925024587071.5113e-07101/103.1399259889071590.001673.1415926139392153.9651e-08121/123.1404352468468510.001163.1415926403053801.3284e-08201/203.1411759869541294.1667e-043.1415926529697856.2001e-10301/303.1414074684073301.8519e-043.1415926535353595.4434e-11401/403.1414884869236121

3、.0417e-043.1415926535801059.6878e-12501/503.1415259869232546.6667e-053.1415926535872532.5402e-121001/1003.1415759869231291.6667e-053.1415926535897533.9968e-142001/2003.1415884869231304.1667e-063.141592653589793从上表中可以看出：复合Simpson公式比复合梯形公式精度高，误差收敛的速度快不少。1.3误差下降速度对比：从上图可以看出，复合Simpson公式误差的收敛速度比复合梯形公式的误差

4、的收敛速度快不少，下面验证收敛阶。1.4验证收敛阶：本实验的实际误差主要由离散误差和计算过程中的舍入误差组成，这里离散误差起主导作用，故理论上实际误差的收敛阶应该与离散误差的收敛阶相同。下面利用如下公式来计算实际的收敛阶，并与理论分析所得出的离散误差的收敛阶作比较。err1err2=h1h2p对上表格中所列的区间长度 hi 值，逐次利用相邻两个小区间长 hi 通过上述公式来计算收敛阶,并绘制成图形。得到图形如下：（a） 对复合梯形公式：由上面公式（2）可知，离散误差关于h为二阶收敛，同时由上图可知实验结果的收敛阶将近为2，故与理论分析相符。（b） 对复合Simpson公式：这里却有些奇怪，由上

5、面公式（4）可知，离散误差理论上为4阶收敛，可实验结果却是将近6阶收敛。下面将进一步深入探究。探究如下：考虑这是由于被积函数f（x） 的特殊性导致，而不是由于Simpson公式离散误差真的能达到6阶收敛。由误差的余项公式Emf=-mh590f（4）=-h4b-a180f（4）,ab.考虑到f（x）=1.5计算过程中舍入误差的影响从上表格可以看出：当区间数n从1到200时，随着h的减小，实际误差在减小。考虑如下问题：若不断减小h的值，即不断增加区间数n，是否实际误差会一直减小?1.5.1理论分析：我们知道影响实验结果的精确度的因素主要有离散误差和舍入误差 ，而离散误差的大小可以通过离散误差的余项

6、来体现。由公式（2）和（4），可以看出当不断增加区间数，即区间长度h不断减小时，离散误差会越来越小。但相应地由于计算精度的限制，当h不断减小时，舍入误差却会变大。故理论上会存在一个阈值H。当h大于H时，由于离散误差起主导作用，随着区间长度h的减小，实际误差会变小；而当h小于H 时，此时舍入误差将在计算结果的精确度起主导作用，再减小h,会导致计算结果的精确度基本保持不变甚至可能会有减小。1.5.2实验检验：（a）对于复合梯形公式：注意到误差收敛的速度较小，故我们首先选取区间数 n=100，101,102,103108 进行分析，得到下面图形。从图中可以看出，复合梯形公式的阈值H在区间数n为106

7、到108之间取到。下面对n处于区间106到108进行分析。由上图可以看出在n取106 （对应h=10-6）左右h达到阈值，故可取阈值H=10-6.（b） 对于复合Simpson公式：注意到复合Simpson公式得收敛速度较快，取i从0到100（对应区间数m=2i）,逐次计算出对应于m的实际误差，并作图如下。从图中可以看出，在i=42（对应m=84,h=1/168）左右，h达到阈值，故可取阈值H=1/168。通过上述理论分析和实验验证，我们得到如下结果：使用复合梯形公式和复合Simpson公式计算积分值时，所分成的小区间长h都存在阈值H，当hH时，再减小h的值，计算精度不再有所改进。原因如下：当

8、h小于H 时，此时舍入误差将在计算结果的精确度起主导作用，再减小h，虽然离散误差依旧会减小，但舍入误差会增大，这就导致计算结果的精确度基本保持不变甚至可能会有减小。2.1公式分析对Romberg求积方法:T1,1=h12fa+fb, h1=b-aTi,1=12Ti-1,1+hi-1k=12i-1f（a+k-1hi- 1）,i=2,3, hi=b-a2i-1=12hi-1Tm,j=4j-1Tm,j-1-Tm-1,j-14j-1-1,j=2,3,（mj）分析离散误差为：对序列Tm,j，m=1,2,3 ， 考虑Em,j=abfxdx-Tm,j, 离散误差的数量级为O（h2j），h为序列的小区间长。（

9、下表中Ef=-Ti,if , 这里为MATLAB中的数，可以认为是足够精确的）ITi,iE（Ti,i）33.1421176470588235.2499e-043.1415857837618746.8698e-0651/163.1415926652777171.1688e-081/323.1415926536382444.8451e-1171/643.1415926535897237.0166e-141/12891/2563.1415926535897948.8818e-161/5123.141592653589792111/10241.3323e-151/20484.4409e-16131/4

10、096141/8192151/16384 2.2考虑舍入误差的影响：2.2.1理论分析：如同1.5小节中所作分析，此处Romberg积分方法同样存在阈值H。2.2.2实验验证：取i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15，逐次计算E（Ti,i）,并作图如下：从图中可以看出，当 i=9 （对应h=1/256 ） 时，再减小h的值（即增大i值），误差基本上不变。故可取阈值H=1/256.3.1自适应算法实现：算法思想：通过递归调用实现。（此处感觉课本提供的算法虽然巧妙，但比较冗杂，且会导致占用太多内存。如用递归调用算法直观上更容易理解。）实现算法如下：（自己感觉还算

11、比较巧妙）1.脚本文件zishiying.mclear;a=0;b=1;disp（误差限为：）,e=0.0000001h=（b-a）/2;f1=f（a）;f2=f（a+b）/2）;f3=f（b）;tic S=h/3*（f1+f2+4*f3）;t=Simpson_auto（a,b,e,S,h/2,f1,f2,f3）;近似值为：）,t误差为：）,abs（pi-t）耗时为：）,toc2.函数文件Simpson_auto.mfunction y =Simpson_auto（A,B,e,S,h,C1,C2,C3） % 将已计算好的函数值传递下去，避免重复计算f1=f（A+h）;f2=f（A+3*h）;% 利用Simpson公式分别计算左半区间和右半区间的近似值S1=h/3*（C1+C2+4*f1）;S2=h/3*（C2+C3+4*f2）;% 判断是否达到所需精度，若未达到将区间分半，进行递归调用if abs（S-S1-S2）10*e y=S1+S2;else y= Simpson_auto （A,（A+B）/2,e/2,S1,h/