人教A版高中数学必修四 32 《简单的三角恒等变换》教案Word格式.docx

1、课时安排2课时教学过程第1课时导入新课 思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换. 思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅

2、会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.推进新课新知探究提出问题与有什么关系?如何建立cos与sin2之间的关系？sin2=，cos2=，tan2=这三个式子有什么共同特点？通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?证明（1）sincos=sin（+）+sin（-）;（2）sin+sin=2sin.并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？ 活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos=1-2si

3、n2,将公式中的用代替,解出sin2即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：是的二倍角.在倍角公式cos2=1-2sin2中,以代替2,以代替,即得cos=1-2sin2,所以sin2=. 在倍角公式cos2=2cos2-1中,以代替2,以代替,即得cos=2cos2-1,所以cos2=. 将两个等式的左右两边分别相除,即得tan2=. 教师引导学生观察上面的式，可让学生总结出下列特点：（1）用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;（2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）.教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将

4、经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin=,cos=,tan=,并称之为半角公式（不要求记忆）,符号由所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 对于问题：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练

5、功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sincos呢？想到sin（+）=sincos+cossin.从方程角度看这个等式，sincos，cossin分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sincos的公式，列出sin（-）=sincos-cossin后，解相应的以sincos，cossin为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令+=，-=，则=，=,代

6、入（1）式即得（2）式.证明:（1）因为sin（+）=sincos+cossin,sin（-）=sincos-cossin,将以上两式的左右两边分别相加,得sin（+）+sin（-）=2sincos,即sincos=sin（+）+sin（-）.（2）由（1）,可得sin（+）+sin（-）=2sincos.设+=,-=,那么=,=.把,的值代入,即得sin+sin=2sincos. 教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把+看作,-看作,从而把包含,的三角函数式变换成,的三角函数式.另外,把sincos看作x,cossin看作y,把

7、等式看作x,y的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.讨论结果：是的二倍角.sin2=1-cos.略（见活动）.应用示例思路1例1 化简:.此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:原式=tan. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练 化简:sin50（1+tan10）. 原式=sin50=2sin50=2cos40=1.例2 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于（

8、a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab（a-b）,a3-b3=（a-b）3+3ab（a-b）.解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinxcosx与sinxcosx之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin3x-cos3x=（sinx-cosx）3+3sinxcosx（sinx-cosx）=.此方法往往适用于sin3xcos3x的化简问题之中.由sinx-cosx=,得（sinx-cosx）2=,即1-2sinxcosx=,sinxcosx=.sin3x-cos3x=（sinx-cosx）（sin2x+sinx

9、cosx+cos2x）=（1+）=.本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. （2007年高考浙江卷,12） 已知sin+cos=,且,则cos2的值是_.答案:例1 已知.此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a2+b2=1的形式,可利用三角代换.证明一:,cos4Asin2B+sin4Acos2B=sin2Bcos+B.cos4A（1-cos2B）+sin4Acos2B=（1-cos2B）

10、cos2B,即cos4A-cos2B（cos4A-sin4A）=cos2B-cos4B.cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.（cos2A-cos2B）2=0.cos2A=cos2B.sin2A=sin2B.cos2B+sin2B=1.证明二:令=sin,则cos2A=cosBcos,sin2A=sinBsin.两式相加,得1=cosBcos+sinBsin,即cos（B-）=1.B-=2k（kZ）,即B=2k+（kZ）.cos=cosB,sin=sinB.cos2A=cosBcos=cos2B,sin2A=sinBsin=sin2B.=cos2B+sin2B=1. 点评:要善于

11、从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=,求证:S90,90A-B0tanAtan（90-B）=cotB0,tanAtanB1.S思路2例1 证明=tan（+）.教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：左边右边；右边左边；左边中间条件右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan（+）=,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得=tan（+）.本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 已知,（0,）且满足:3sin2+2sin2=1,3sin2-2sin2=0,求+2的值.解法一:3sin2+2sin2=13sin2=1-2sin2,即3sin2=cos2, 3sin2-2sin2=03sincos=sin2, 2+2:9sin4+9sin2cos2=1,即9sin2（sin2+cos2）=1,sin2=.（0,）,sin=.sin（+2）