人教A版高中数学必修四 32 《简单的三角恒等变换》教案Word格式.docx

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课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：

代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.

思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.

推进新课

新知探究

提出问题

①α与有什么关系?

②如何建立cosα与sin2之间的关系？

③sin2=，cos2=，tan2=这三个式子有什么共同特点？

④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?

⑤证明

（1）sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）];

（2）sinθ+sinφ=2sin.

并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？

活动：

教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin2,将公式中的α用代替,解出sin2即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：

α是的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin2α中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=1-2sin2,

所以sin2=.①

在倍角公式cos2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得

cosα=2cos2-1,

所以cos2=.②

将①②两个等式的左右两边分别相除,即得

tan2=.③

教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：

（1）用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;

（2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）.

教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:

sin=±

cos=±

tan=±

并称之为半角公式（不要求记忆）,符号由所在象限决定.

教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：

对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.

对于问题⑤：

（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？

想到sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.

（2）由

（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与

（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=，β=,代入

（1）式即得

（2）式.

证明:

（1）因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ,

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ,

将以上两式的左右两边分别相加,得

sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ,

即sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）].

（2）由

（1）,可得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ.①

设α+β=θ,α-β=φ,那么α=,β=.

把α,β的值代入①,

即得sinθ+sinφ=2sincos.

教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.

讨论结果：

①α是的二倍角.

②sin2=1-cos.

③④⑤略（见活动）.

应用示例

思路1

例1化简:

.

此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.

解:

原式==tan.

点评：

本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.

变式训练

化简:

sin50°

（1+tan10°

）.

原式=sin50°

=2sin50°

·

=2cos40°

=1.

例2已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.

教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab（a-b）,∴a3-b3=（a-b）3+3ab（a-b）.解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·

cosx与sinx±

cosx之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin3x-cos3x=（sinx-cosx）3+3sinxcosx（sinx-cosx）=.此方法往往适用于sin3x±

cos3x的化简问题之中.

由sinx-cosx=,得（sinx-cosx）2=,

即1-2sinxcosx=,∴sinxcosx=.

∴sin3x-cos3x=（sinx-cosx）（sin2x+sinxcosx+cos2x）

=（1+）=.

本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.

（2007年高考浙江卷,12）已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,则cos2θ的值是______________.

答案:

例1已知.

此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a2+b2=1的形式,可利用三角代换.

证明一:

∵,

∴cos4A·

sin2B+sin4A·

cos2B=sin2B·

cos+B.

∴cos4A（1-cos2B）+sin4A·

cos2B=（1-cos2B）cos2B,

即cos4A-cos2B（cos4A-sin4A）=cos2B-cos4B.

∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.

∴（cos2A-cos2B）2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B.

∴cos2B+sin2B=1.

证明二:

令=sinα,

则cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα.

两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos（B-α）=1.

∴B-α=2kπ（k∈Z）,即B=2kπ+α（k∈Z）.

∴cosα=cosB,sinα=sinB.

∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B.

∴=cos2B+sin2B=1.

点评:

要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.

在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=,求证:

S<

1.

∵S=

又A+B>

90°

∴90°

>

A>

-B>

0°

∴tanA>

tan（90°

-B）=cotB>

0,

∴tanA·

tanB>

1.∴S<

思路2

例1证明=tan（+）.

教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：

①左边→右边；

②右边→左边；

③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切.

解：

方法一：

从右边入手，切化弦，得

tan（+）=,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得

方法二：

从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得

由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得

=tan（+）.

本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.

已知α,β∈（0,）且满足:

3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.

解法一:

3sin2α+2sin2β=13sin2α=1-2sin2β,即3sin2α=cos2β,①

3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β,②

①2+②2:

9sin4α+9sin2αcos2α=1,即9sin2α（sin2α+cos2α）=1,

∴sin2α=.∵α∈（0,）,∴sinα=.

∴sin（α+2β）