无穷级数复习讲义Word文档下载推荐.doc

1、11了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。一.无穷级数概论1.无穷级数定义 设为一个数列，称为无穷级数.注记1：但只是一种形式上的记法.只有讨论了收敛性，才有意义.2.无穷级数收敛的定义（1）部分和、部分和数列的定义对任意，称数列前项和为级数的部分和.称数列为级数的部分和数列.（2）无穷级数收敛的定义若级数的部分和数列是收敛的，则称级数是收敛的，并且记.3.无穷级数收敛的性质（1）无穷级数收敛的必要条件I 若无穷级数收敛，则其部分和数列有界.反之不然.事实上，由于收敛，因此，

2、其部分和数列收敛，于是，有界.但有界，却未必收敛.例如，级数部分和数列为，有界，但不收敛.例1.不收敛.事实上，于是，不收敛，即不收敛.（2）无穷级数收敛的必要条件II 若收敛，则.事实上，假设部分和为，则收敛，记，于是， 但反之结论不成立.例如，虽然，但无穷级数不收敛.（3）无穷级数收敛的必要条件III 若无穷级数收敛，则对其任意加括号都收敛，而且级数和不变.假设加括号后的级数写为这里，.则其部分和为.由于收敛，于是，收敛，于是，其任意子列收敛，且收敛值与的一样，即级数收敛，且.（4）无穷级数收敛的充分必要条件I 无穷级数收敛当且仅当且（或）收敛.必要性是显然的.至于充分性，我们利用了这样一

3、个事实：数列收敛当且仅当.现在，收敛了，而，而，于是，.故也收敛.若收敛，也是同理的.（5）无穷级数收敛的充分必要条件II 无穷级数收敛当且仅当且收敛.或者说也可以. 必要性是显然的.至于充分性，若收敛，则其部分和数列是收敛的，但，因此，收敛.又，因此，由（4）的结论，无穷级数收敛.若收敛，则其部分和数列也收敛.又，因此，也收敛.又由于，因此，由（4），无穷级数收敛.4.无穷级数的运算性质（1）若无穷级数和收敛，则也收敛，且事实上，假设的部分和为，的部分和为， 部分和为，则显然有.由于收敛，因此，存在.于是，存在，且，即收敛，且.（2）设常数，则收敛性与相同，且若收敛，则.二.正项级数1.正项

4、级数的定义 每一项都非负的级数称为正项级数.2.正项级数收敛的基本定理 正项级数收敛当且仅当其部分和数列有界.事实上，若收敛，则其部分和收敛，因此，有界，这是容易知道的。另一方面，是一个单调不减的数列，如果有界，则有极限，即是收敛的。3.比较判别法及其极限形式（1）比较判别法设，都是正项级数.假设存在一个正常数以及正整数，使得当，总有.若收敛，则收敛.事实上，我们假设的部分和为，的部分和为，则对任意，若收敛，则有界，于是，有界。于是，收敛.（2）比较判别法的极限形式 设和为正项级数.如果.当，若收敛，则收敛.当，则与的敛散性相同.当，若收敛，则收敛.事实上，若，存在一个，当，有，即.由比较判别

5、法，若收敛，则收敛.若，则存在一个，使得当，由，即.若收敛，由比较判别法，收敛.若收敛，由比较判别法，收敛.若，则.则由收敛，收敛.4.比值判别法及其极限形式（1）假设为正项级数.若存在一个和，使得当，有，则收敛.若存在一个和，使得当，有，则发散. 事实上，若，当，有由于，因此，级数是收敛的.由比较判别法，级数收敛.若，当，类似地，有.由于，因此，级数是发散的.由比较判别法，级数是发散的.设为正项级数.假设.若，则收敛.若，则发散.若，此法失效.事实上，若，任取（例如），则存在一个，当，有.由于，由比值判别法，收敛.若，任取（例如），则存在一个，当有，有.由比值判别法，发散.若，取，则，但级数

6、发散.又取，则发散.但，而，因此，是收敛的.这说明当，此法失效了.备注：比较判别法及其极限形式也适用于任意项级数.这不难从证明过程中看出.这时候，表述应该相应叙述如下： 假设数列满足.若，则收敛（事实上，它还绝对收敛）.若，则发散.若，此法失效.事实上，若，按照正项级数的比较判别法，级数是收敛的，由于，因此，级数与收敛.于是，若，对任意，总有常数，使得当，有.这样，当，有，于是，.这样，级数是发散的.若，道理同上.型7。1 判定数项级数的敛散性1。（02,3）设，且，则级数 （A）发散； （B）绝对收敛； （C）条件收敛； （D）收敛性不能判定2。（04,4）设为正项级数，下列结论中正确的是

7、（A） 若=0，则级数收敛。（B） 若存在非零常数，使得，则级数发散。（C） 若级数收敛，则。 3。（06,4）若级数收敛，则级数（A）收敛。（B）收敛。（C）收敛。（D）收敛。4。（09,4）设有两个数列，若，则（A）当收敛时，收敛。 （B）当发散时，发散。 （C）当收敛时，收敛。 （D）当发散时，发散。题型7。2 证明数项级数的敛散性5。3 求幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域6。（08,4）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为。4 求幂级数的和函数7。（02,7）验证函数（）满足微分方程；求幂级数的和函数8。（05,12）求幂级数的收敛区间与和函数f（x）9。（07,10）设幂级数在内收敛，其和函数y（x）满足（I）证明：（II）求y（x）的表达式。10。（10,10）求幂级数的收敛域及和函数。5 求数项级数的和11。（09，9）设为曲线与所围成区域的面积，记，求与的值。6 求函数的幂级数展开式12。 （01,8）设=将展开成的 幂级数，并求 的和13。（03,12）将函数展开成x的幂级数，并求级数的和。14。（06,12）将函数展开成x的幂级数。7 傅里叶级数15。（03,4）设，则= 1 。16。（08,11），用余弦级数展开，并求的和。9