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11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式。
一.无穷级数概论
1.无穷级数定义
设为一个数列,称为无穷级数.
注记1:
但只是一种形式上的记法.只有讨论了收敛性,才有意义.
2.无穷级数收敛的定义
(1)部分和、部分和数列的定义
对任意,称数列前项和为级数的部分和.
称数列为级数的部分和数列.
(2)无穷级数收敛的定义
若级数的部分和数列是收敛的,则称级数是收敛的,并且记
.
3.无穷级数收敛的性质
(1)无穷级数收敛的必要条件I
若无穷级数收敛,则其部分和数列有界.反之不然.
事实上,由于收敛,因此,其部分和数列收敛,于是,有界.但有界,却未必收敛.例如,级数部分和数列为,有界,但不收敛.
例1.不收敛.
事实上,
于是,不收敛,即不收敛.
(2)无穷级数收敛的必要条件II
若收敛,则.
事实上,假设部分和为,则收敛,记,于是,
但反之结论不成立.例如,虽然,但无穷级数不收敛.
(3)无穷级数收敛的必要条件III
若无穷级数收敛,则对其任意加括号都收敛,而且级数和不变.
假设加括号后的级数写为
这里,.则其部分和为.由于收敛,于是,收敛,于是,其任意子列收敛,且收敛值与的一样,即级数收敛,且.
(4)无穷级数收敛的充分必要条件I
无穷级数收敛当且仅当且(或)收敛.
必要性是显然的.至于充分性,我们利用了这样一个事实:
数列收敛当且仅当.现在,收敛了,而,而,于是,.故也收敛.若收敛,也是同理的.
(5)无穷级数收敛的充分必要条件II
无穷级数收敛当且仅当且收敛.
或者说也可以.
必要性是显然的.至于充分性,若收敛,则其部分和数列
是收敛的,但,因此,收敛.又,因此,由(4)的结论,无穷级数收敛.若收敛,则其部分和数列
也收敛.又,因此,也收敛.又由于,因此,由(4),无穷级数收敛.
4.无穷级数的运算性质
(1)若无穷级数和收敛,则也收敛,且
事实上,假设的部分和为,的部分和为,部分和为,则显然有.由于收敛,因此,,存在.于是,存在,且,即收敛,且.
(2)设常数,则收敛性与相同,且若收敛,则.
二.正项级数
1.正项级数的定义
每一项都非负的级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的基本定理
正项级数收敛当且仅当其部分和数列有界.
事实上,若收敛,则其部分和收敛,因此,有界,这是容易知道的。
另一方面,是一个单调不减的数列,如果有界,则有极限,即是收敛的。
3.比较判别法及其极限形式
(1)比较判别法
设,都是正项级数.假设存在一个正常数以及正整数,使得当,总有.若收敛,则收敛.
事实上,我们假设的部分和为,的部分和为,则对任意,
若收敛,则有界,于是,有界。
于是,收敛.
(2)比较判别法的极限形式
设和为正项级数.如果.当,若收敛,则收敛.当,则与的敛散性相同.当,若收敛,则
收敛.
事实上,若,存在一个,当,有,即.由比较判别法,若收敛,则收敛.若,则存在一个,使得当,由,即.若收敛,由比较判别法,收敛.若收敛,由比较判别法,收敛.若,则.则由收敛,收敛.
4.比值判别法及其极限形式
(1)假设为正项级数.若存在一个和,使得当,有,则收敛.若存在一个和,使得当,有,则发散.
事实上,若,当,有
由于,因此,级数是收敛的.由比较判别法,级数收敛.
若,当,类似地,有.由于,因此,级数是发散的.由比较判别法,级数是发散的.
设为正项级数.假设.若,则收敛.若,则发散.若,此法失效.
事实上,若,任取(例如),则存在一个,当,有.由于,由比值判别法,收敛.若,任取(例如),则存在一个,当有,有.由比值判别法,发散.若,取,则,但级数发散.又取,则发散.但,,而,
,因此,是收敛的.这说明当,此法失效了.
备注:
比较判别法及其极限形式也适用于任意项级数.这不难从证明过程中看出.
这时候,表述应该相应叙述如下:
假设数列满足.若,则收敛(事实上,它还绝对收敛).
若,则发散.若,此法失效.
事实上,若,按照正项级数的比较判别法,级数是收敛的,由于,因此,级数与收敛.于是,
若,对任意,总有常数,使得当,有.这样,当,有,于是,.这样,级数是发散的.
若,道理同上.
型7。
1判定数项级数的敛散性
1。
(02,3)设,且,则级数
(A)发散;
(B)绝对收敛;
(C)条件收敛;
(D)收敛性不能判定.
2。
(04,4)设为正项级数,下列结论中正确的是
(A)若=0,则级数收敛。
(B)若存在非零常数,使得,则级数发散。
(C)若级数收敛,则。
3。
(06,4)若级数收敛,则级数
(A)收敛。
(B)收敛。
(C)收敛。
(D)收敛。
4。
(09,4)设有两个数列,若,则
(A)当收敛时,收敛。
(B)当发散时,发散。
(C)当收敛时,收敛。
(D)当发散时,发散。
题型7。
2证明数项级数的敛散性
5。
3求幂级数的收敛半径,收敛区间及收敛域
6。
(08,4)已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为。
4求幂级数的和函数
7。
(02,7) 1.验证函数()满足微分方程;
2.求幂级数的和函数.
8。
(05,12)求幂级数的收敛区间与和函数f(x)
9。
(07,10)设幂级数在内收敛,其和函数y(x)满足
(I)证明:
(II)求y(x)的表达式。
10。
(10,10)求幂级数的收敛域及和函数。
5求数项级数的和
11。
(09,9)设为曲线与所围成区域的面积,记
,求与的值。
6求函数的幂级数展开式
12。
(01,8)设=将展开成的幂级数,并求的和.
13。
(03,12)将函数展开成x的幂级数,并求级数的和。
14。
(06,12)将函数展开成x的幂级数。
7傅里叶级数
15。
(03,4)设,则=1。
16。
(08,11),用余弦级数展开,并求的和。
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