ZMO第1届质心教育高中数学联赛模拟测试Word格式.docx

1、三棱锥 S ABC 的体积为 5.将各位数字之和为 4 的正整数从小到大排列， 2020 是第 个数字6.若实数 x, y 满足 4x2 23xy + 4y2 = 13 ，则 x2 + 4y2 的取值范围是 7.设x表示不超过实数x 的最大整数，求集合A = n|n = k2, 1 k2019 2020, k N 的元素个数 8.质心姐姐与质心哥哥进行游戏，每局质心姐姐的获胜概率为 1 ，质心哥哥的获胜概率为 2。每局获胜者3 3加一分，输者扣一分。到达零分时游戏结束，得零分的人出局。游戏开始时，质心姐姐有 4 分，质心哥哥2 分。质心哥哥获胜的概率为 解答题（第9题16分,第10,11题分别

2、为20分,共56分）9.对于任意 a, b, c, d R ， a2 + b2 + c2 + d2 m （ac + bd + bc） 恒成立，求 m 的最大值10.已知椭圆x2 y2C : + = 1 （a b 0）a2 b2，动点 P 满足P A, P B分别与C相切，且P AP B，求证P点轨迹是以 O 为圆心，半径为 a2 + b2 的圆11.已知 sin + sin + sin = 3cos + cos + cos = 2cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1， 求 sin 2 + sin 2 + sin 2 和 tan（ + + ） 质心教育高中数学联赛模拟二试考试时间1

3、50min解答题（第1,2题分别40分,第3,4题分别50分,共180分）1.设 n 是大于 1 的正整数， a1, a2, , an 是实数证明：n3k=12（2k n 1）akn2 1i=1ai）2 n ni=1a2.2.9 名同学参加质心数学活动时被分到同一个组，他们任两个人或者之前认识，或者之前不认识。证明：这9 名同学中，要么存在四人两两互相认识，要么存在三个人两两互相不认识3.ABC 的边 AC 的中点为 D，ABD 的外接圆为 。D 做 AB 的平行线与 交于 E 。EDC 的外接圆为 。试证明： D 关于 的切线， E A 关于 的切线三线共点4.若整数 a, b, c 满足：对任意正整数 n ，存在整数 x, y, z 使得 ax2 + by2 + cz2 = n 成立求 min a, b, c的最大可能值质心教育高中数学联赛答题纸省份 年级 学校 .姓名 .QQ .质心官网注册手机 .1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.二试1.二试2.二试3.二试4.