ZMO第1届质心教育高中数学联赛模拟测试Word格式.docx

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三棱锥S−ABC的体积为

5.将各位数字之和为4的正整数从小到大排列，2020是第个数字．

6.若实数x,y满足4x2−2√3xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．

7.设

[x]

表示不超过实数

x的最大整数，求集合

A={n|n=[

k2

1k

2019

⩽2020,k∈

N}的元素个

数

8.质心姐姐与质心哥哥进行游戏，每局质心姐姐的获胜概率为1，质心哥哥的获胜概率为2

。

每局获胜者

33

加一分，输者扣一分。

到达零分时游戏结束，得零分的人出局。

游戏开始时，质心姐姐有4分，质心哥哥

2分。

质心哥哥获胜的概率为．

解答题（第9题16分,第10,11题分别为20分,共56分）

9.对于任意a,b,c,d∈R，a2+b2+c2+d2⩾m（ac+bd+bc）恒成立，求m的最大值．

10.已知椭圆

x2y2

C:

+=1（a>

b>

0）

a2b2

，动点P满足

PA,PB

分别与

C

相切，且

PA⊥PB

，求证

P

点轨迹是以O为圆心，半径为√a2+b2的圆．

11.已知

sinα+sinβ+sinγ=√3

cosα+cosβ+cosγ=√2

cos2α+cos2β+cos2γ=−1

，求sin2α+sin2β+sin2γ和tan（α+β+γ）．

质心教育高中数学联赛模拟二试

考试时间150min

解答题（第1,2题分别40分,第3,4题分别50分,共180分）

1.设n是大于1的正整数，a1,a2,·

·

an是实数．证明：

n

3

k=1

2

（2k−n−1）ak

n2−1

∑i=1

ai）

2n

⩽n

i=1

a2.

2.9名同学参加质心数学活动时被分到同一个组，他们任两个人或者之前认识，或者之前不认识。

证明：

这

9名同学中，要么存在四人两两互相认识，要么存在三个人两两互相不认识．

3.△ABC的边AC的中点为D，△ABD的外接圆为Ω。

D做AB的平行线与Ω交于E。

△EDC的外接圆为ω。

试证明：

D关于ω的切线，EA关于Ω的切线三线共点．

4.若整数a,b,c满足：

对任意正整数n，存在整数x,y,z使得ax2+by2+cz2=n成立．求mina,b,c

的最大可能值．

质心教育高中数学联赛答题纸

省份

年级

学校.

姓名.

QQ.

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1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

二试1.

二试2.

二试3.

二试4.