1、110设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度为,则有关系式:,并且 将上面两式对时间求导得:,由此解得: (a)(a)式可写成:,将该式对时间求导得: (b)将(a)式代入(b)式可得:(负号说明滑块A的加速度向上)AOBR111设B点是绳子AB与圆盘的切点,由于绳子相对圆盘无滑动,所以,由于绳子始终处于拉直状态,因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等,即: (a)因为 (b)将上式代入(a)式得到A点速度的大小为: (c)由于,(c)式可写成:,将该式两边平方可得:将上式两边对时间求导可得:将上式消去后,可求得:由上式可知滑块A的加速度方向向左,其大小为 113动点:套筒
2、A;动系:OA杆;定系:机座;运动分析:绝对运动:直线运动;相对运动:牵连运动:定轴转动。根据速度合成定理有:,因为AB杆平动,所以,由此可得,OC杆的角速度为,所以当时,OC杆上C点速度的大小为115销子M动系1:圆盘动系2:OA杆曲线运动直线运动定轴转动根据速度合成定理有, 由于动点M的绝对速度与动系的选取无关,即,由上两式可得: (a)将(a)式在向在x轴投影,可得:117圆盘上的C点;圆周运动; 相对运动:直线运动(平行于O1A杆); 牵连运动: (a)将(a)式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得:,根据加速度合成定理有 (b)将(b)式在垂直于O1A杆的轴上投影得其中:
3、由上式解得:119由于ABM弯杆平移,所以有取:套筒M;OC摇杆;根据速度合成定理 可求得:根据加速度合成定理 将上式沿方向投影可得:由于,根据上式可得:1-20 M取小环为动点,OAB杆为动系运动分析由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示,根据速度合成定理:可以得到: ,加速度如图所示,其中:根据加速度合成定理: 将上式在轴上投影,可得:,由此求得:121xy求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。汽车B;汽车A(Oxy);路面。定轴转动(汽车A绕O做定轴转动)求相对速度,根据速度合成定理 将上式沿绝对速度方向投影可得:因此 由此可得:求相对加速度
4、,由于相对运动为圆周运动,相对速度的大小为常值,因此有:2-1 解:当摩擦系数足够大时,平台AB相对地面无滑动,此时摩擦力取整体为研究对象,受力如图,系统的动量:将其在轴上投影可得:根据动量定理有:即:当摩擦系数时,平台AB的加速度为零。当摩擦系数时,平台AB将向左滑动,此时系统的动量为:将上式在轴投影有:由此解得平台的加速度为:(方向向左)2-2 取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点,取整体为研究对象,受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为:将上式在x轴投影:系统的运动微分方程为:24 取提起部分为研究对象,受力如图(a)所示,提起部分的质量为,提起部分的速度为,根据点
5、的复合运动可知质点并入的相对速度为,方向向下,大小为(如图a所示)。(a) (b)根据变质量质点动力学方程有:将上式在y轴上投影有:由于,所以由上式可求得:。再取地面上的部分为研究对象,由于地面上的物体没有运动,并起与提起部分没有相互作用力,因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力,即:35 将船视为变质量质点,取其为研究对象,受力如图。船的质量为:,水的阻力为将其代入上式可得:应用分离变量法可求得由初始条件确定积分常数,并代入上式可得:2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动,板对转轴的转动惯量为,质量为的质点沿半径为的圆周运动,其相对方板的速度大小为(常量)。圆盘中心到转轴的距离为。质点在
6、方板上的位置由确定。初始时,方板的角速度为零,求方板的角速度与角的关系。 图a 图 b取方板和质点为研究对象,作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零,因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为,其角速度为,于是有设质点M对转轴的动量矩为,取方板为动系,质点M为动点,其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向,牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为系统对z轴的动量矩为。初始时,此时系统对z轴的动量矩为当系统运动到图8-12位置时,系统对z轴的动量矩为由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有,因此可得:由上
7、式可计算出方板的角速度为211 取链条和圆盘为研究对象,受力如图(链条重力未画),设圆盘的角速度为,则系统对O轴的动量矩为:P根据动量矩定理有:整理上式可得:由运动学关系可知:,因此有:上式可表示成:令,上述微分方程可表示成:,该方程的通解为:根据初始条件:可以确定积分常数,于是方程的解为:系统的动量在x轴上的投影为:系统的动量在y轴上的投影为:根据动量定理:214 取整体为研究对象,系统的动能为:分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若是AB杆上的A点相对楔块C的速度,则根据复合运动速度合成定理可知:因此系统的动能可表示为:,系统在能够过程中,AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有:,系统的
8、动力学方程可表示成:217 质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽,放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动,初始时,系统静止,小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。 图A 图B取小球和物块为研究对象,受力如图B所示,由于作用在系统上的主动力均为有势力,水平方向无外力,因此系统的机械能守恒,水平动量守恒。设小球为动点,物块为动系,设小球相对物块的速度为,物块的速度为,则系统的动能为设为势能零点,则系统的势能为根据机械能守恒定理和初始条件有,即系统水平方向的动量为:根据系统水平动量守恒和初始条件有由此求出,将这个结果代入上面
9、的机械能守恒式,且最后求得:下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象,受力如图C,D所示。设小球的相对物块的加速度为,物块的加速度为,对于小球有动力学方程 (a) 图C 图 D对于物块,由于它是平移,根据质心运动动力学方程有 (b)将方程(a)在小球相对运动轨迹的法线方向投影,可得其中相对加速度为已知量,。将方程(b)在水平方向和铅垂方向投影,可得领,联立求解三个投影可求出218 取小球为研究对象,两个小球对称下滑,设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有: (a)将上式对时间求导并简化可得: (b )每个小球的加速度为取圆环与两个小球为研究对象,应用质心运动定理将上式在y轴上投影可得: 将(a),(b)两式代入上式化简后得时对应的值就是圆环跳起的临界值,此时上式可表示成上述方程的解为:圆环脱离地面时的值为而也是方程的解,但是时圆环已脱离地面,因此不是圆环脱离地面时的值。z
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