1、在怎样的运动中,又只有而无?在怎样的运动中,既有又有? 质点在变速直线运动中,只有而无;质点在匀速曲线运动中,只有而无;质点在变速曲线运动中,既有又有。1.5 与有无不同?与有无不同?试就直线运动与曲线运动分别加以讨论。直线运动中: 是速度,是矢量;是速率,是标量; 是加速度,是矢量;是加速度的大小,是标量。 曲线运动中:是速度的径向分量,是标量;是加速度的切向分量,是标量。1.6 人以速度向篮球网前进,则当其投篮时应用什么角度投出?跟静止时投篮有何不同?设静止时投篮角度为,运动时投篮角度为,且:,篮球为动点,人为运动参照系,篮球网不动。人的速度为牵连速度,球对人的速度为相对速度,人静止时投篮
2、速度为,也就是球的绝对速度。因此: ,因余切函数是减函数。故:,即人以速度向篮球网前进时,其投篮的抛射角较静止时应大些,才能准确地将球投入蓝中。1.7 雨点以匀速落下,在一有加速度的火车中看,它走什么路线?这属于牵连运动为平动的问题。以车厢为参照系建立坐标系oxy,则雨点受惯性力作用,忽略雨点的重力,则动力学方程为: 即:雨点在x方向作匀加速运动,在y方向作匀速运动,与重力场中物体的平抛运动相比较知,雨点相对于火车走的是一条抛物线,若,则要经过积分才能知道路径。1.8 某人以一定的功率划船,逆流而上,当船经过一桥时,船上的渔竿不慎掉入河中,两分钟后,此人才发现,立即返棹追赶,追到渔竿之处在桥的
3、下游600米的地方,问河水的流速是多大?以船为动点,河水为动系,岸为定系。船对水的相对速度,水对岸的流速(及渔竿的速度)为牵连速度,所以:解得:=2.5米/秒。1.9 物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致?为什么?物体运动速度并不一定和所受的外力方向一致。只有物体的加速度方向才和其所受外力的方向一致。速度总是沿着切线方向,而作用于质点的外力是可以有不同方向的,所以物体运动的速度并不总是和所受外力的方向一致。1.10 在哪些条件下,物体可以作直线运动?如果初速度的方向和力的方向不一致,则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动?试用一具体实例加以说明。当力的作用方向与物体的初速度方向一致或
4、相反时,物体才能作直线运动。如果力的方向与物体的初速度方向不一致,则物体既不沿力的方向也不沿初速度的方向运动,如抛射体运动。1.11 质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑,达到任意一点时的速度只和什么有关?为什么是这样?假如不是光滑的又将如何?如图所示,取x轴为零势线,由于曲线光滑,曲线对质点的作用力和位移方向垂直,该力不作功,故机械能守恒:即达到任一点的速度只与初速度及下降的高度有关,而与曲线的形状无关。如果曲线不是光滑的,则有摩擦力存在,摩擦力在质点运动过程中作功,由动能定理有:由于摩擦力作功与路径有关,所以摩擦力存在时,质点到达任一点的速度与初速度及下降的高度有关,还与曲线的形状有关。1
5、.12 为什么质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时,约束力不作功?我们利用动能定理或能量积分,能否求出约束力?如不能,应当怎样去求?因为约束力与运动方向垂直,所以在光滑静止曲线上,约束力不作功,用动能定理或能量积分无法求出约束力。此时可以用动能定理或能量积分先求出速度,在利用禀方程中的法向运动微分方程,可求出约束力。1.13 质点的质量是1kg,它运动时的速度是:是沿xyz轴上的单位矢量,求此质点的动量和动能的量值。动量:动量的量值:动能:1.14 在上题中,当质点以上述速度运动到(1,2,3)点时,它对原点O及z轴的动量矩各是多少?质点运动到(1,2,3)点时,它对原点O的位矢为:则对O点的
6、动量矩为: 对z轴的动量矩为:1.15 动量矩守恒是否就意味着动量也守恒?已知质点受有心力作用而运动时,动量矩是守恒的,问它的动量是否也守恒?动量矩守恒的条件是;动量守恒的条件为:。由于时,可以是与共线而,故动量矩守恒时动量不一定守恒。以质点在有心力作用下的运动为例,显然,动量矩守恒,但因为,动量不守恒。实际上质点的动量沿轨道切线,其大小和方向时刻在变化。1.16 如,则在三维直角坐标系中,仍有的关系存在吗?试检验之。, 则: 同理: 即有心力场是无旋场,有心力场是保守力场。1.17 在平方反比引力问题中,势能曲线应具有什么样的形状?平方反比引力: 势能为:势能曲线形状如图所示。1.18 我国
7、发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角为68.50,比苏联及美国第一次发射的都要大,我们说,交角越大,技术要求越高,这是为什么?又交角大的优点是什么?评定发射人造卫星的技术指标应从多方面综合考虑,不应简单地一概而论。卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角大,利用地球自转的线速度就小,因而就需要火箭的推动力要大,技术要求就高。交角大,卫星“扫射”地球表面积大,因而了解信息就多。但人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角,是按卫星的功能和实际需要来确定的。1.19 卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗?卢瑟福公式由平方反比斥力得到,而引力库仑场为平方反比引力,两者实质一样,只差一符号
8、,引力场中轨道的偏转与斥力场中偏转的方向相反,故卢瑟福公式也能使用。第一章 习题1.1 沿水平方向前进的枪弹,通过某一距离s的时间为t1,而通过下一等距离s的时间为t2,试证明枪弹的减速度(假定是常数)为:证:设初速度为,加速度为:-a通过第一段距离s:通过2s距离:(1)(2)两式联立,消去得: 证毕。1.2 某船向东航行,速率为每小时15千米,在正午经过某一灯塔,另一船以同样速度向北航行,在下午1时30分经过此灯塔,问在什么时候两船的距离最近?最近的距离是多少?解:以正午为计时零点,设时两船相距最近,其最近距离为。设东向船为,北向船为,以灯塔为坐标原点,建立坐标系,如图所示。在时刻,两船位
9、置分别为:则: (即午后45分钟)将值代入表达式得:(千米)在正午后45分钟两船相距最近,其最近距离为15.9千米。1.3 曲柄,以匀角速绕定点O转动,此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线ox运动,求连杆上C点的轨迹方程及速度。设。如图所示建立坐标系0xy,C点的坐标为:在三角形AOB中, 由(1)(2)两式消去得:即:由(2)(3)两式消去得:由(4)(5)两式消去得:上式化简得轨道方程为:对(1)(2)两式取微商得:对(3)式取微商得:将(8)代入(6)(7)得:C点的速度为1.4 细杆OL绕O点以匀角速转动,并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动,如图所示,d为一已知常数,试求小环的速度及加速度的
10、量值。如图建立直角坐标系Oxy,小环在任意时刻的位矢为:式中用到: 小环的速度的量值为:小环的加速度的量值为:1.5 矿山升降机作加速度运动时,其变加速度可用下式表示:式中c及T为常数,试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。 升降机作直线加速运动,则:两边积分:1.6一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为及,式中是常数,试证其沿位矢及垂直于位矢的加速度分别为:由已知: 沿位矢方向 垂直位矢方向则:为径向、横向单位矢量 证毕。1.7 试自出发,计算及,并由此推出径向加速度和横向加速度。xyO坐标与平面极坐标之间的关系,如图所示。径向加速度为:横向加速度为:1.9
11、质点作平面运动,其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。上式对时间取微商: 即速度矢量与加速度矢量正交。又证:因为质点作平面运动,速度总沿轨道切线方向。而 又v为常数(已知),所以:1.10 一质点沿着抛物线运动,其切向加速度的量值为法向加速度量值的-2k倍,如此质点从正焦弦的一端以速度u出发,试求其达到正焦弦另一端的速率。由得:始点 (第三象限)终点 (第四象限)由题意知:积分: 1.11 质点沿着半径为的圆周运动,其加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知初速度为。按题意画图,如图所示。沿切向与同向,与间夹角,即与间夹角为,为常数。1.12 在上题中,试证其速度可表示为:式中为速度矢量与x轴间的夹角,且当t=0时,分离变量积分: 1.13假定以飞机从处向东飞到处,而后又向西飞回原处,飞机相对于空气的速度为,而空气相对于地面的速度则为,与之间的距离为,飞机相对于空气的速率保持不变。(a) 假定,则空气相对于地面是静止的,试证来回飞行的总时间为:(b) 假定空气速度向东(或向西),试证来回飞行的总时间为:(c) 假定空气速度向北(或向南),试证来回飞行的总时间为: 。本题是牵连运动为平动的问题选择:动点(运动物体)飞机;动系空气;定系大地。其中为相对速度,为牵连速度,为绝对速度。(a)空气静止 其大小为:(b)
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