理论力学习题1Word文档格式.docx

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在怎样的运动中，又只有而无？

在怎样的运动中，既有又有？

质点在变速直线运动中，只有而无；

质点在匀速曲线运动中，只有而无；

质点在变速曲线运动中，既有又有。

1.5与有无不同？

与有无不同？

试就直线运动与曲线运动分别加以讨论。

直线运动中：

是速度，是矢量；

是速率，是标量；

是加速度，是矢量；

是加速度的大小，是标量。

曲线运动中：

是速度的径向分量，是标量；

是加速度的切向分量，是标量。

1.6人以速度向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？

跟静止时投篮有何不同？

设静止时投篮角度为，运动时投篮角度为，且：

，篮球为动点，人为运动参照系，篮球网不动。

人的速度为牵连速度，球对人的速度为相对速度，人静止时投篮速度为，也就是球的绝对速度。

因此：

因余切函数是减函数。

故：

，即人以速度向篮球网前进时，其投篮的抛射角较静止时应大些，才能准确地将球投入蓝中。

1.7雨点以匀速落下，在一有加速度的火车中看，它走什么路线？

这属于牵连运动为平动的问题。

以车厢为参照系建立坐标系o——xy，则雨点受惯性力作用，忽略雨点的重力，则动力学方程为：

即：

雨点在x方向作匀加速运动，在y方向作匀速运动，与重力场中物体的平抛运动相比较知，雨点相对于火车走的是一条抛物线，若，则要经过积分才能知道路径。

1.8某人以一定的功率划船，逆流而上，当船经过一桥时，船上的渔竿不慎掉入河中，两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶，追到渔竿之处在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？

以船为动点，河水为动系，岸为定系。

船对水的相对速度，水对岸的流速（及渔竿的速度）为牵连速度，所以：

解得：

=2.5米/秒。

1.9物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？

为什么？

物体运动速度并不一定和所受的外力方向一致。

只有物体的加速度方向才和其所受外力的方向一致。

速度总是沿着切线方向，而作用于质点的外力是可以有不同方向的，所以物体运动的速度并不总是和所受外力的方向一致。

1.10在哪些条件下，物体可以作直线运动？

如果初速度的方向和力的方向不一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？

试用一具体实例加以说明。

当力的作用方向与物体的初速度方向一致或相反时，物体才能作直线运动。

如果力的方向与物体的初速度方向不一致，则物体既不沿力的方向也不沿初速度的方向运动，如抛射体运动。

1.11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任意一点时的速度只和什么有关？

为什么是这样？

假如不是光滑的又将如何？

如图所示，取x轴为零势线，由于曲线光滑，曲线对质点的作用力和位移方向垂直，该力不作功，故机械能守恒：

即达到任一点的速度只与初速度及下降的高度有关，而与曲线的形状无关。

如果曲线不是光滑的，则有摩擦力存在，摩擦力在质点运动过程中作功，由动能定理有：

由于摩擦力作功与路径有关，所以摩擦力存在时，质点到达任一点的速度与初速度及下降的高度有关，还与曲线的形状有关。

1.12为什么质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？

我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？

如不能，应当怎样去求？

因为约束力与运动方向垂直，所以在光滑静止曲线上，约束力不作功，用动能定理或能量积分无法求出约束力。

此时可以用动能定理或能量积分先求出速度，在利用禀方程中的法向运动微分方程，可求出约束力。

1.13质点的质量是1kg，它运动时的速度是：

是沿xyz轴上的单位矢量，求此质点的动量和动能的量值。

动量：

动量的量值：

动能：

1.14在上题中，当质点以上述速度运动到（1，2，3）点时，它对原点O及z轴的动量矩各是多少？

质点运动到（1，2，3）点时，它对原点O的位矢为：

则对O点的动量矩为：

对z轴的动量矩为：

1.15动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？

已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒？

动量矩守恒的条件是；

；

动量守恒的条件为：

。

由于时，可以是与共线而，故动量矩守恒时动量不一定守恒。

以质点在有心力作用下的运动为例，，显然，动量矩守恒，但因为，动量不守恒。

实际上质点的动量沿轨道切线，其大小和方向时刻在变化。

1.16如，则在三维直角坐标系中，仍有的关系存在吗？

试检验之。

，则：

同理：

即有心力场是无旋场，有心力场是保守力场。

1.17在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？

平方反比引力：

势能为：

势能曲线形状如图所示。

1.18我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角为68.50，比苏联及美国第一次发射的都要大，我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？

又交角大的优点是什么？

评定发射人造卫星的技术指标应从多方面综合考虑，不应简单地一概而论。

卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角大，利用地球自转的线速度就小，因而就需要火箭的推动力要大，技术要求就高。

交角大，卫星“扫射”地球表面积大，因而了解信息就多。

但人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角，是按卫星的功能和实际需要来确定的。

1.19卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？

卢瑟福公式由平方反比斥力得到，而引力库仑场为平方反比引力，两者实质一样，只差一符号，引力场中轨道的偏转与斥力场中偏转的方向相反，故卢瑟福公式也能使用。

第一章习题

1.1沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t1，而通过下一等距离s的时间为t2，试证明枪弹的减速度（假定是常数）为：

证：

设初速度为，加速度为：

-a

通过第一段距离s：

通过2s距离：

（1）

（2）两式联立，消去得：

证毕。

1.2某船向东航行，速率为每小时15千米，在正午经过某一灯塔，另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔，问在什么时候两船的距离最近？

最近的距离是多少？

解：

以正午为计时零点，设时两船相距最近，其最近距离为。

设东向船为，北向船为，以灯塔为坐标原点，建立坐标系，如图所示。

在时刻，两船位置分别为：

则:

（即午后45分钟）

将值代入表达式得：

（千米）

在正午后45分钟两船相距最近，其最近距离为15.9千米。

1.3曲柄，以匀角速绕定点O转动，此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线ox运动，求连杆上C点的轨迹方程及速度。

设。

如图所示建立坐标系0——xy，C点的坐标为：

在三角形AOB中，

由

（1）

（2）两式消去得：

即：

由

（2）（3）两式消去得：

由（4）（5）两式消去得：

上式化简得轨道方程为：

对

（1）

（2）两式取微商得：

对（3）式取微商得：

将（8）代入（6）（7）得：

C点的速度为

1.4细杆OL绕O点以匀角速转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，如图所示，d为一已知常数，试求小环的速度及加速度的量值。

如图建立直角坐标系O—xy，小环在任意时刻的位矢为：

式中用到：

小环的速度的量值为：

小环的加速度的量值为：

1.5矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：

式中c及T为常数，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程。

已知升降机的初速度为零。

升降机作直线加速运动，则：

两边积分：

1.6一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为及，式中是常数，试证其沿位矢及垂直于位矢的加速度分别为：

由已知：

沿位矢方向

垂直位矢方向

则：

为径向、横向单位矢量

证毕。

1.7试自出发，计算及，并由此推出径向加速度和横向加速度。

x

y

θ

O

坐标与平面极坐标之间的关系，如图所示。

径向加速度为：

横向加速度为：

1.9质点作平面运动，其速率保持为常数。

试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。

上式对时间取微商：

即速度矢量与加速度矢量正交。

又证：

因为质点作平面运动，速度总沿轨道切线方向。

而

又v为常数（已知），

所以：

1.10一质点沿着抛物线运动，其切向加速度的量值为法向加速度量值的-2k倍，如此质点从正焦弦的一端以速度u出发，试求其达到正焦弦另一端的速率。

由得：

始点（第三象限）

终点（第四象限）

由题意知：

积分：

1.11质点沿着半径为的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变。

求质点的速度随时间而变化的规律。

已知初速度为。

按题意画图，如图所示。

沿切向与同向，与间夹角，即与间夹角为，为常数。

1.12在上题中，试证其速度可表示为：

式中为速度矢量与x轴间的夹角，且当t=0时，

分离变量积分：

1.13假定以飞机从处向东飞到处，而后又向西飞回原处，飞机相对于空气的速度为，而空气相对于地面的速度则为，与之间的距离为，飞机相对于空气的速率保持不变。

（a）假定，则空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为：

（b）假定空气速度向东（或向西），试证来回飞行的总时间为：

（c）假定空气速度向北（或向南），试证来回飞行的总时间为：

。

本题是牵连运动为平动的问题

选择：

动点（运动物体）——飞机；

动系——空气；

定系——大地。

其中为相对速度，为牵连速度，为绝对速度。

（a）空气静止

其大小为：

（b）