等差数列知识总结Word文档下载推荐.doc

1、3数列的分类：4数列an及前n项和之间的关系:注意：检验n=1的结果是否可以合并二、等差数列1.定义：（d为常数）（）；2等差数列通项公式： ， 首项:，公差:d，末项: 推广： 从而；3等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2）等差中项：数列是等差数列4等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数） （当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若或（常数） 是等差数列 （2） 等差中项：数列是等差数列 数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定义法：若或（常数） 是等差数列7.

2、提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（公差为2）8.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.注：，图示：（4） 若是等差数列，则 ，也成等差数列 图示：（5）若等差数列、的前和分别为、，且，则

3、.（6）若、为等差数列，则为等差数列（7）求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值 （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为（7）设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则：1.当项数为

4、偶数时，其中n为总项数的一半，d为公差；2、在等差数列中，若共有奇数项项，则（其中是等差数列的中间一项）解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量典例分析1.等差数列中，求的通项公式。解： 解得 2.等差数列前项和记为，已知，（1）求通项；（2）若，求（1）由，得方程组 解得 （2）由 得方程解得或（舍），故3.若求解法一 那么解法二：由4、已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值。分析：数列的首项为5，公差，所以，于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值。另解：令，得n8

5、，所以a 8 = 0，S 7 = S 8为最大。5.在等差数列an中，若a3a8a1312，a3a8a1328，求an的通项公式.解法一：设所求的通项公式为ana1（n1）d则即代入得（a12d）（a112d）7a147d，代入，（45d）（45d）8即1625d27，解得d.当d时，a1，an（n1）n当d时，a1，an（n1）（）n.分析二：视a3，a8，a13作为一个整体，再利用性质：若mnpq，则amanapaq解题.a3a13a8a82a8，又a3a8a1312，故知a84代入已知得 解得或由a31，a137得d.ana3（n3）n.由a37，a131，仿上可得：ann. 6两个等差

6、数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，那么它们共有多少相同的项？已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列an，问题就转化为一个研究数列an的项数问题设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为cn，c1=11,又数列5，8，11，的通项公式为an3n2，数列3，7，11，的通项公式为bn4n1.数列cn为等差数列，且12n1又a100302，b100399，cn12n1302得n25，可见已知两数列共有25个相同的项.an3n2，bn4n1，设anbm则有3n24m1（n，mN*），即nm1（n，mN*）要使n为正整数，m必须是3的倍数.设m3k（kN*），代入前式得n4k1又1

7、3k100，且14k1100，解得1k25共有25个相同的项.7.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？由 得4.6d 答案：48.等差数列中，a 1 0,因此等差数列前n项和的图像是过原点开口向下的抛物线，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值），由于S 9 = S 11，其对称轴为，于是，当n取与最接近的整数即10或11时，取最大值。9.若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.解:,10.已知为等差数列,前10项的和为前100项的和,求前110项的和分析一:方程思想,将题目条

8、件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.设的首项为,公差,则 分析二:运用前n项和变式: 为等差数列,故可设,解法三：11、在等差数列a n中，（1）求该数列的通项公式；（2）求其前n项和S n的最大值；（3）求。（1），所以；（2），所以前10项的和最大；（3）因为，当n 10时，；当n 10时，12数列的前n项和（1） 是什么数列? （2）设的前n项和.分析:本题考查数列的基础知识,以及含绝对值的数列前n项和的求法.在求和前前首先要确定,从哪一项开始该项的值为负,然后将和分段表示.（1）又（2）令当 的前n项和 当,的前n项和为由得数列的前n项和为13、在等差数列a n中，14.数列的前

9、项的和 ；求通项公式。当时 ， 当时 ，显然不适合14.若数列成等差数列，且，求（法一）基本量法（略）； （法二）设，则得：， ，15.（1）设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S120，S131，且am-1+am+1am2=0，S2m-1=38，则m_.19.等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，求其项数和中间项.设数列的项数为项，则， ，数列的项数为，中间项为第项，且20.在数列an中，a11，an+1，求数列an的前n项和.要求数列anan+1的前n项和，需要先求数列an的通项公式.由已知得为首项为 1，公差为的等差数列.1（n1），anSna1a2a2a3anan+14（）（）（）4（）.21：已知数列，（1） 求证：是等差数列；（2）若，求数列的前n项和的最小值。思路分析：本题可以根据定义证明是等差数列，然后求数列的前n项和的最值。数列是等差数列（2）由（1）得。 由可知是等差数列，公差d=2，数列的前n项和22已知数列的首项,通项与前n项和之间满足（1）求证:是等差数列,并求公差;（2）求数列的通项公式;（1）当（2）7