等差数列知识总结Word文档下载推荐.doc

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3．数列的分类：

4．数列{an}及前n项和之间的关系:

注意：

检验n=1的结果是否可以合并．

二、等差数列

1.定义：

（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

，首项:

，公差:

d，末项:

推广：

．从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：

或

（2）等差中项：

数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数）（当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：

若或（常数）是等差数列．

（2）等差中项：

数列是等差数列．

⑶数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：

若或（常数）是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）

8..等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：

，图示：

（4）若{}是等差数列，则，…也成等差数列

图示：

（5）若等差数列、的前和分别为、，且，

则.

（6）若、为等差数列，则为等差数列

（7）求的最值

法一：

因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

法二：

（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当由可得达到最大值时的值．

（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即当由可得达到最小值时的值．

或求中正负分界项

法三：

直接利用二次函数的对称性：

由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。

若Sp=Sq则其对称轴为

（7）设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则：

1.当项数为偶数时，，其中n为总项数的一半，d为公差；

2、在等差数列中，若共有奇数项项，则

（其中是等差数列的中间一项）．

解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：

即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

典例分析

1.等差数列中，，求的通项公式。

解：

∵∴解得∴

2.等差数列前项和记为，已知，

（1）求通项；

（2）若，求

（1）由，

得方程组解得∴

（2）由得方程

解得或（舍），故

3.若求

解法一

那么

解法二：

由

4、已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值。

分析：

数列的首项为5，公差，

所以，

于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值。

另解：

令，得n≤8，

所以a8=0，S7=S8为最大。

5.在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求{an}的通项公式.

解法一：

设所求的通项公式为an＝a1＋（n－1）d

则

即

①代入②得（a1＋2d）（a1＋12d）＝7 ③

∵a1＝4－7d，代入③，∴（4－5d）（4＋5d）＝8

即16－25d2＝7，解得d＝±

.

当d＝时，a1＝－，an＝－＋（n－1）·

＝n－

当d＝－时，a1＝，an＝＋（n－1）·

（－）＝－n＋.

分析二：

视a3，a8，a13作为一个整体，再利用性质：

若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq解题.

∵a3＋a13＝a8＋a8＝2a8，又a3＋a8＋a13＝12，故知a8＝4

代入已知得解得或

由a3＝1，a13＝7得d＝＝＝.

∴an＝a3＋（n－3）·

＝n－.

由a3＝7，a13＝1，仿上可得：

an＝－n＋.

6．两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？

已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{an}，问题就转化为一个研究数列{an}的项数问题

设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1=11,

又数列5，8，11，……的通项公式为an＝3n＋2，数列3，7，11，……的通项公式为bn＝4n－1.

∴数列{cn}为等差数列，且d＝12.∴cn＝12n－1

又∵a100＝302，b100＝399，∴cn＝12n－1＜302

得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项.

∵an＝3n＋2，bn＝4n－1，设an＝bm

则有3n＋2＝4m－1（n，m∈N*），即n＝m－1（n，m∈N*）

要使n为正整数，m必须是3的倍数.

设m＝3k（k∈N*），代入前式得n＝4k－1

又∵1≤3k≤100，且1≤4k－1≤100，解得1≤k≤25

∴共有25个相同的项.

7.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？

由得－4.6＜d＜－答案：

－4

8.等差数列中，a1<

0，S9=S11，该数列前多少项的和最小？

由已知得公差d>

0,因此等差数列前n项和的图像是过原点开口向下的抛物线，

故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值），

由于S9=S11，其对称轴为，

于是，当n取与最接近的整数即10或11时，取最大值。

9.若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.

解:

10.已知为等差数列,前10项的和为前100项的和,求前110项的和

分析一:

方程思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.设的首项为,公差,

则

分析二:

运用前n项和变式:

为等差数列,故可设,

解法三：

11、在等差数列{an}中，，

（1）求该数列的通项公式；

（2）求其前n项和Sn的最大值；

（3）求。

（1），所以；

（2），所以前10项的和最大；

（3）因为，

①当n≤10时，；

②当n>

10时，

12数列的前n项和

（1）是什么数列?

（2）设的前n项和.

分析:

本题考查数列的基础知识,以及含绝对值的数列前n项和的求法.在求和前前首先要确定,从哪一项开始该项的值为负,然后将和分段表示.

（1）

又

（2）令

①当的前n项和

②当,的前n项和为

由①②得数列的前n项和为

13、在等差数列{an}中，，

14.数列的前项的和；

求通项公式。

当时，

当时，

显然不适合∴．

14.若数列成等差数列，且，求．

（法一）基本量法（略）；

（法二）设，则得：

，

，∴，∴．

15.

（1）设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S12>

0，S13<

0，求公差d的取值范围。

（2）指出S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由。

（1），，即，

由,代入得：

。

（2）：

由，可知：

，所以S6最大。

16．设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有，则．

说明：

．

17.已知数列的前n项和，数列的前n项和，

（1）若，求的值；

（2）取数列中的第1项,第3项,第5项,构成一个新数列,求数列的通项公式.答案：

（1）36　　

（2）

18.等差数列中，前n项和，若m>

1，且am-1+am+1－am2=0，S2m-1=38，则m＝____________.

19.等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，，求其项数和中间项.

设数列的项数为项，

则，

∴，∴，∴数列的项数为，中间项为第项，且．

20.在数列{an}中，a1＝1，an+1＝，求数列{an}的前n项和.

要求数列{anan+1}的前n项和，需要先求数列{an}的通项公式.

由已知得＝＋

∴{}为首项为＝1，公差为的等差数列.

∴＝1＋（n－1）×

＝，∴an＝

Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan+1＝＋＋…＋

＝4[（－）＋（－）＋…＋（－）]＝4（－）＝.

21：

已知数列，

（1）求证：

是等差数列；

（2）若，求数列的前n项和的最小值。

思路分析：

本题可以根据定义证明是等差数列，然后求数列的前n项和的最值。

∴数列是等差数列

（2）由

（1）得。

由可知是等差数列，，公差d=2，

数列的前n项和

22．已知数列的首项,通项与前n项和之间满足

（1）求证:

是等差数列,并求公差;

（2）求数列的通项公式;

（1）当

（2）

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