数学分析定义定理推理一览表复习课程Word格式.docx

1、b.5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点 o作为原点，指定一个 方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位 长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之， 数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上 的点有着 对应关系.定义3实数a的绝对值定义为a从数轴上看，数a的绝对值a, a 0,a, a 0.a就是a到原点的距离绝对值得一些性质1.a a 0;当且仅当a=0时有a 0.2.a a a .3.a h h a h; a h h a h（h 0）

2、.4.对于任何a、b R有如下三角形不等式：a b a b a b .5.ab a|b .a |a|&冷0）定义4区间和邻域开区间：a,b x a x b ,有限区间 闭区间：a,b x|a x b ,半开半闭区间：a,b xa x b , 区间 （,a x|x a , , a,b R.工（a, ） xx a ,无限区间（,a） x|x a ,（,）x x R,邻域：a R, 0.满足x a 的全体实数x的集合称为点a的邻域，记作U a;,或U （a）,即有U（a; ） x|x a| （a ,a ）.点a的空心邻域：U（a; ） x| 0 | x a| .点a的 右邻域：U （a; ） a,a

3、 ）;点 a的 左邻域： ） （a ,a;点a的空心 右邻域：U 0 （a; ） （a, a ）;点a的空心 左邻域： ） （a , a）;邻域U（ ） X|x| M，其中M为充分大正数； 邻域U（ ） X |x M，其中M为充分大正数；定义5有界的定义设S为R中的一个数集若存在M（L）,使得对一切x S,都 有x M （x L）,则称S为有上界（下界）的数集，数 M （L）称 为S的一个上界（下界）简记：S R, M 0, x S x M ,称S有界若数集S既有上界又有下界，则称 S为有界集若S不是有界集, 则称为无界集.定义6确界的定义1设S R.若数满足：ix S,有x ，即是S的上界；

4、ii, xo S,使得xo ，即 又是S的最小上界,则称为数集S的上确界，记作=sup S.2.设S R.若数满足：ix S,有x ，即是S的下界；ii, x0 S,使得x0 ，即 又是S的最大下界,则称为数集S的下确界，记作=inf S定理1设数集S有上确界i）=sup S S =max S.ii）=inf S S min S.定理一确界原理设S为非空数集.若S有上界，则必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.定理2设A B为非空数集，满足：对一切x A和y B有x y.数集A有上确界，数集B有下确界，且supA inf B.推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）函数

5、的概念 定义1 给定两个实数集D和M，若有对应法则f,使对D内每一个X, 都有唯一的一个数y M与它相对应，则称f是定义在数集D上 的函数，记作f : D M,x a y.数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y,称为f在点X的函数值, 常记为f （x）.全体函数值的集合f（D） y| y f （x）,x D （ M ） 称为函数f的值域.函数的四则运算给定两个函数f ,x 和g,x D2,记D=D11 D2,并设D .定义f与g在D上的和、差、积运算如下：F（x） f（x） g（x）,x D,G（x） f（x） g（x）,x D,H（x） f（x）g（x）,x D.若在D中剔除g（x） 0的

6、x值，即令D* Di I x| g（x） 0,x D2 ,则除法如下L（x） f （x）/g（x）,x D*.初等函数常量函数y c（c为常数）； 幕函数y x （为实数）；指数函数y ax（a 0,a 1）;对数函数 y loga x（a 0,a 1）;三角函数 y sin x, y cosx, y tan x, y cotx; 反三角函数y arcs in x, y arccosx, y arcta nx,y arc cotx.给定实数a 0,a 1设x为我们规定supar | r为有理数，当a 1时，ax r xinf ar |r为有理数，当0 a 1时.r x1ainana1ai，当i

7、 1 na2 L an时， “=”成立.几个重要的等式（不等式）6.调和平均数i 1 ai数列极限定义1设an为数列，a为定数若对任给的正数，总存在正整数N, 使得当n N时有a a ，则称数列an收敛于a,定数a称为 数列an的极限，并记作lim an a,或an a（n ）.若数列an没有极限，则称 an不收敛，或称 an为发散数列定义1任给 0，若在U a;之外数列an中的项至多只有有限个,则称数列an收敛于极限a.定义2若 lim an 0,则称an为无穷小数列.定理2.1数列an收敛于a的充要条件是：an a为无穷小数列.收敛数列的性质定理2.8（四则运算）lim an bnliml

8、im an clim an bnlim anlim an n-,bn lim bnc, limlim bn,can clim an,0及 lim bn 0.定义1设a-为数列，nk为正整数集N +的无限子集，且ni n2 L nk L ，则数列a-i ,a-2,L ,a-k ,L称为数列a-的一个子列，简记为 a-k .平凡子列：数列a-本身以及去掉有限项后得到的子列.非平凡子列：不是平凡子列的子列.数列a-与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限定理2.9数列a-收敛的充要条件是：a-的任何非平凡子列都收敛.定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限定理三（柯西

9、Cauch收敛准则）数列环收敛的充要条件是: 对任给的0存在正整数N，使得当i,m N时有耳 為| . 函数极限定义1设f为定义在a, 上的函数，A为定数若对人给的 0,存在正数Ml（ a）,使得当x M时有f x A ，则称函数f当x趋于 时以A为极限，记作lim f x A或f x Ax .x2设函数f在点怡的某个空心邻域U。心内有定义，A为定数 若对任给的 0,存在正数（ ）,使得当0 x xo 时有 f x A ，则称函数f当x趋于x3时以A为极限，记作lim f x A或f x A x 怡.x x03设函数f在U。xd；或U。x；内有定义，A为定数. 若对任给的 0,存在正数（v ）

10、,使得当x x0或冷 x xd时有f x A ，则称数A为函数f当x趋于xd或xd的右（左）极限，记作lim f x A lim f x Ax xd X 冷或fx Ax x0 f x Ax x0 .右极限与左极限统称为单侧极限f在点乞的右（左）极限记为 x0 0 lim f x f x0 0 lim f x .x xo X 冷定理3.1lim f x A lim f x lim f x AX xo x xd x x0函数极限的性质设 lim f x = lim g x =A，且在某 U x0；定理3.6（迫敛性）X Xo x Xo内有f x h x g x ,则 lim h x A.X X则

11、lim fX Xo定理3.2（唯一性）若极限lim fx X0定理3.3 （局部有界性）若limX Xo 邻域U若 lim f定理3.4（局部保号性）rAorr切x U。设 lim f定理3.5（报不等式性）邻域U。X存在，则此极限是唯一的.f X存在，则f在Xo的某空心。Xo内有界.x =A 0or 0,则对任何正数A,存在U。x0，使得对一 x0 有f x r 0orf x r 0.x 与lim g x 都存在，且在某X0；内有f X g X , x lim g x .x Xd定理3.8（四则运算）1）lim fX xo2）lim fX Xdx g x lim f x lim g x ;x

12、 Xo x XoX Xd x xo3）lim x人gx lim f xx Xo ,lim g x 0.x lim g x x xo X Xo J无穷小量阶的比较（定义见下页末）f x1. 若lim 0,则称当x xo时f为g的高阶无穷小量X冷g X 记作 f x o g x x x0 .2.若存在正数K和L,使得在某Uo x,上有K L,g x则称f与g为当x 时的同阶无穷小量.特别的当lim c 0时，f与g必为同阶无穷小量.x xo g x3若lim =1,则称f与g为当x xo时的等价无穷小量.记作 f x g x x x0 .函数极限存在的条件定理3.8（归结原则or海涅定理）设f在U 0 x0;内有定义.lim f x存在的充要条件是：对任何含x x于U 0 x0;且以x0为极限的数列xn ,极限lim f xn都存在且相等.简述：lim f x =A 对任何xn x0（n ）有lim f xn Ax x0 XX。设函数f在点x0的某空心右邻域U0 x0有定义.lim f x =用勺定理3.9充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列xn U0 xd，有 lim