数学分析定义定理推理一览表复习课程Word格式.docx
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b.
5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数也有无理数.
6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；
反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着对应关系.
定义3
实数a的绝对值定义为a
从数轴上看，数a的绝对值
a,a0,
a,a0.
a就是a到原点的距离
绝对值得一些性质
1.aa0;
当且仅当a=0时有a0.
2.aaa.
3.ahhah;
ahhah（h0）.
4.对于任何a、bR有如下三角形不等式：
ababab.
5.aba||b.
a|a|
&
冷0）
定义4
区间和邻域
开区间：
a,bxaxb,
有限区间闭区间：
a,bx|axb,
半开半闭区间：
a,bxaxb,区间（,a]x|xa,,a,bR.
工（a,）xxa,
无限区间
（,a）x|xa,
（,）xxR,
邻域：
aR,0.满足xa的全体实数x的集合称为
点a的邻域，记作Ua;
或U（a）,即有
U（a;
）{x||xa|}（a,a）.
点a的空心邻域：
U°
（a;
）{x|0|xa|}.
点a的右邻域：
U（a;
）[a,a）;
点a的左邻域：
）（a,a];
点a的空心右邻域：
U0（a;
）（a,a）;
点a的空心左邻域：
）（a,a）;
邻域U（）{X||x|M}，其中M为充分大正数；
邻域U（）{X|xM}，其中M为充分大正数；
定义5有界的定义
设S为R中的一个数集•若存在M（L）,使得对一切xS,都有xM（xL）,则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）■
简记：
SR,M0,xSxM,称S有界■
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集■若S不是有界集,则称为无界集.
定义6确界的定义
1设SR.若数满足：
ixS,有x，即是S的上界；
ii,xoS,使得xo，即又是S的最小上界,
则称为数集S的上确界，记作
=supS.
2.设SR.若数满足：
ixS,有x，即是S的下界；
ii,x0S,使得x0，即又是S的最大下界,
则称为数集S的下确界，记作
=infS
定理1
设数集S有上确界•
i）=supSS=maxS.
ii）=infSSminS.
定理一确界原理
设S为非空数集.若S有上界，则必有上确界；
若S有下界，则S必有下确界.
定理2
设AB为非空数集，满足：
对一切xA和yB有xy.
数集A有上确界，数集B有下确界，且supAinfB.
推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）
函数的概念定义1给定两个实数集D和M，若有对应法则f,使对D内每一个X,都有唯一的一个数yM与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f:
DM,
xay.
数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y,称为f在点X的函数值,常记为f（x）.全体函数值的集合f（D）y|yf（x）,xD（M）称为函数f的值域.
函数的四则运算
给定两个函数f,x^和g,xD2,记D=D11D2,并设D.
定义f与g在D上的和、差、积运算如下：
F（x）f（x）g（x）,xD,
G（x）f（x）g（x）,xD,
H（x）f（x）g（x）,xD.
若在D中剔除g（x）0的x值，即令
D*DiIx|g（x）0,xD2,
则除法如下
L（x）f（x）/g（x）,xD*.
初等函数
常量函数yc（c为常数）；
幕函数yx（为实数）；
指数函数yax（a0,a1）;
对数函数ylogax（a0,a1）;
三角函数ysinx,ycosx,ytanx,ycotx;
反三角函数
yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.
给定实数a0,a1设x为我们规定
sup{ar|r为有理数}，当a1时，
axrx
inf{ar|r为有理数}，当0a1时.
rx
1
ai
n
an
a1
ai，当
i1n
a2Lan时，“=”成立.
几个重要的等式（不等式）
6.调和平均数
i1ai
数列极限
定义1
设an为数列，a为定数•若对任给的正数，总存在正整数N,使得当nN时有aa，则称数列an收敛于a,定数a称为数列an的极限，并记作limana,或ana（n）.
若数列an没有极限，则称an不收敛，或称an为发散数列
定义1'
任给0，若在Ua;
之外数列an中的项至多只有有限个,
则称数列an收敛于极限a.
定义2若liman0,则称an为无穷小数列.
定理2.1数列an收敛于a的充要条件是：
ana为无穷小数列.
收敛数列的性质
定理2.8（四则运算）
limanbn
lim
limanc
lima
nbn
liman
limann—-,bnlimbn
c,lim
limbn,
cancliman,
0及limbn0.
定义1设a-为数列，nk为正整数集N+的无限子集，且
nin2LnkL，
则数列a-i,a-2,L,a-k,L称为数列a-的一个子列，简记为a-k.
平凡子列：
数列a-本身以及去掉有限项后得到的子列.
非平凡子列：
不是平凡子列的子列.
数列a-与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限
定理2.9数列a-收敛的充要条件是：
a-的任何非平凡子列都收敛.
定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限
定理三（柯西Cauch收敛准则）数列环收敛的充要条件是:
对任给的0存在正整数N，使得当i,mN时有耳為|.函数极限
定义
1设f为定义在a,上的函数，A为定数若对人给的0,
存在正数Ml（a）,使得当xM时有fxA，则称函数
f当x趋于时以A为极限，记作limfxA或fxAx.
x
2设函数f在点怡的某个空心邻域U。
心’内有定义，A为定数若对任给的0,存在正数（＜'
）,使得当0xxo时有fxA，则称函数f当x趋于x3时以A为极限，记作
limfxA或fxAx怡.
xx0
3设函数f在U。
xd；
'
或U。
x^；
内有定义，A为定数.若对任给的0,存在正数（v'
）,使得当xx0
或冷xxd时有fxA，则称数A为函数f当x趋于
xd或xd的右（左）极限，记作limfxAlimfxA
xxdX冷
或fxAxx0fxAxx0.
右极限与左极限统称为单侧极限
f在点乞的右（左）极限记为x00limfxfx00limfx.
xxoX冷
定理3.1limfxAlimfxlimfxA
Xxoxxdxx0
函数极限的性质
设limfx=limgx=A，且在某Ux0；
定理3.6（迫敛性）
XXoxXo
内有fxhxgx,则limhxA.
XX
则limf
XXo
定理3.2（唯一性）若极限limf
xX0
定理3.3（局部有界性）
若lim
XXo邻域U
若limf
定理3.4（局部保号性）
r
Aorr
切xU。
设limf
定理3.5（报不等式性）邻域U。
X存在，则此极限是唯一的.
fX存在，则f在Xo的某空心
。
Xo内有界.
x=A0or0,则对任何正数
A,存在U。
x0，使得对一x0有fxr0orfxr0.
x与limgx都存在，且在某
X0；
内有fXgX,xlimgx.
xXd
定理3.8（四则运算）
1）limf
Xxo
2）limf
XXd
xgxlimfxlimgx;
xXoxXo
XXdxxo
3）lim—x人g
xlimfx
xXo
limgx0.
xlimgxxxoXXoJ
无穷小量阶的比较（定义见下页末）
fx
1.若lim0,则称当xxo时f为g的高阶无穷小量
X冷gX记作fxogxxx0.
2.若存在正数K和L,使得在某Uox,上有KL,
gx
则称f与g为当x时的同阶无穷小量.特别的当
limc0时，f与g必为同阶无穷小量.
xxogx
3若lim=1,则称f与g为当xxo时的等价无穷小量.
记作fx~gxxx0.
函数极限存在的条件
定理3.8（归结原则or海涅定理）
设f在U0x0;
内有定义.limfx存在的充要条件是：
对任何含
xx
于U0x0;
且以x0为极限的数列xn,极限limfxn都存在且相等.
简述：
limfx=A对任何xnx0（n）有limfxnA
xx0XX。
设函数f在点x0的某空心右邻域U0x0有定义.limfx=用勺
定理3.9充要条件是：
对任何以x0为极限的递减数列xnU0xd，
有lim
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