高考数学北师大版理科 第8章 平面解析几何 第7节 双曲线学案文档格式.docx

1、图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1（a,0），A2（a,0）A1（0，a），A2（0，a）渐近线yx离心率e，e（1，）实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2（cab知识拓展1三种常见双曲线方程的设法（1）若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2By21（AB0）表示焦点在x轴上的双曲线（）（3）双曲线（m0，n0，0）的渐近线方程是0，即0.（）（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直

2、，离心率等于.（）答案（1）（2）（3）（4）2（教材改编）已知双曲线1（a0）的离心率为2，则a（）A2B CD1D依题意，e2，所以2a，则a21，a1.3若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于（）A11 B9 C5 D3B由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.4已知双曲线1（a0，b0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为（）Ay21 Bx21C1 D1A由题意可得解得a2，则b1，所以双曲线的方程为y21，故选A5（2017全国卷）双曲线1（a0

3、）的一条渐近线方程为yx，则a_.5双曲线的标准方程为1（a0），双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.（对应学生用书第145页）双曲线的定义及应用（1）已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为（）A48 B24C12 D6（2）（2017湖北武汉调研）若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（1,4），则|PF|PA|的最小值是（）A8 B9C10 D12（1）B（2）B（1）由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可

4、知三角形PF1F2为直角三角形，因此S|PF1|PF2|24.（2）由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为（4,0），设双曲线的右焦点为B，则B（4,0），由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号所以|PF|PA|的最小值为9.规律方法1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点 动点 具备的几何条件，即“到两定点 焦点 的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用.2.在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的

5、活用，常将|PF1|PF2|2a平方，建立与|PF1|PF2|间的联系.跟踪训练已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1（）【79140294】A BC DA由e2得c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a.又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.双曲线的标准方程（1）（2017全国卷）已知双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为（）A1 B1（2）（2018湖北调考）已知点A（1,0），B（1,0）为双曲线1（a0，b0）的左、右顶点，点M在

6、双曲线上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的标准方程为（）Ax21 Bx21Cx21 Dx2y21（1）B（2）D（1）由yx可得. 由椭圆1的焦点为（3,0），（3,0），可得a2b29. 由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B（2）由题意知a1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|BM|2，ABM120.过点M作MNx轴于点N，则|BN|1，|MN|，所以M（2，），代入双曲线方程得41，解得b1，所以双曲线的方程为x2y21，故选D规律方法求双曲线标准方程的主要方法 1 定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程. 2 待定系数法：即“先

7、定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.跟踪训练（1）已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2（5,0），则双曲线C的方程为（）A1 B1（2）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_（1）C（2）1由焦点F2（5,0）知c5.又e，得a4，b2c2a29.所以双曲线C的标准方程为1.（2）由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1（5,0），F2（5,0），设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线C2的标准方程为1，即1.双曲线

8、的几何性质角度1双曲线的离心率问题（2018长沙模拟（二）已知双曲线1（a0，b0）的渐近线与圆（x2）2y2相切，则该双曲线的离心率为（）C D3A由双曲线1（a0，b0）的渐近线yx，即bxay0与圆相切得，即cb，则c23b23（c2a2），化简得ca，则该双曲线的离心率为e，故选A角度2双曲线的渐近线问题合肥二检）已知双曲线1（a0，b0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_x因为e，所以c2a2b23a2，故ba，则此双曲线的渐近线方程为yxx.角度3双曲线性质的综合应用（2017全国卷）已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1,3），则A

9、PF的面积为（）D因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F（2,0）因为PFx轴，所以可设P的坐标为（2，yP）因为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P（2，3），|PF|3.又因为A（1,3），所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131.故选D规律方法与双曲线几何性质有关问题的解题策略 1 求双曲线的离心率 或范围 .依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式 或不等式 ，解方程 或不等式 即可求得. 2 求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.跟踪训练（1）（2017全国卷）若a1，则双曲线y21的离心率的取值

10、范围是（）A（，） B（，2）C（1，） D（1,2）（2）（2016全国卷）已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A（1,3） B（1，）C（0,3） D（0，）（3）（2017武汉调研）双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于_.【79140295】（1）C（2）A（3）8（1）由题意得双曲线的离心率e.e21.a1，01，112，1e.故选C（2）若双曲线的焦点在x轴上，则又（m2n）（3m2n）4，m21，1n3m2且nm2，此时n不存在故选A（3）因为e，所以ca，设双曲线的一条渐近线方程为yx，即axby0，焦点为（0，c），所以b3，所以a，所以a216，即a4，故2a8.