高考数学北师大版理科 第8章 平面解析几何 第7节 双曲线学案文档格式.docx

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图形

性

质

范围

x≥a或x≤－a，y∈R

y≤－a或y≥a，x∈R

对称性

对称轴：

坐标轴，对称中心：

原点

顶点

A1（－a,0），A2（a,0）

A1（0，－a），A2（0，a）

渐近线

y＝±

x

离心率

e＝，e∈（1，＋∞）

实虚轴

线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；

a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长

a、b、c

的关系

c2＝a2＋b2（c>

a>

b>

[知识拓展]

1．三种常见双曲线方程的设法

（1）若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1（AB<

0）．

（2）当已知双曲线的渐近线方程bx±

ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ（λ≠0）．

（3）与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）．

2．等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±

x，离心率为e＝.

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）平面内到点F1（0,4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（　　）

（2）方程－＝1（mn>

0）表示焦点在x轴上的双曲线．（　　）

（3）双曲线－＝λ（m>

0，n>

0，λ≠0）的渐近线方程是－＝0，即±

＝0.（　　）

（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）√

2．（教材改编）已知双曲线－＝1（a>

0）的离心率为2，则a＝（　　）

A．2　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．1

D　[依题意，e＝＝＝2，所以＝2a，则a2＝1，a＝1.]

3．若双曲线E：

－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于（　　）

A．11B．9C．5D．3

B　[由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.]

4．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（　　）

A．－y2＝1B．x2－＝1

C．－＝1D．－＝1

A　[由题意可得解得a＝2，则b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1，故选A．]

5．（2017·

全国卷Ⅲ）双曲线－＝1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.

5　[∵双曲线的标准方程为－＝1（a>

0），

∴双曲线的渐近线方程为y＝±

x.

又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]

（对应学生用书第145页）

双曲线的定义及应用

（1）已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为（　　）

A．48　　　　　　B．24

C．12D．6

（2）（2017·

湖北武汉调研）若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（1,4），则|PF|＋|PA|的最小值是（　　）

A．8B．9

C．10D．12

（1）B　

（2）B　[

（1）由双曲线的定义可得

|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，

解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，

由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，

因此S＝|PF1|·

|PF2|＝24.

（2）由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为（－4,0），设双曲线的右焦点为B，则B（4,0），由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．

所以|PF|＋|PA|的最小值为9.]

[规律方法]　1.应用双曲线的定义需注意的问题

在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点动点具备的几何条件，即“到两定点焦点的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用.

2.在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立与|PF1|·

|PF2|间的联系.

[跟踪训练]　已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（　　）

【79140294】

A．B．

C．D．

A　[由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a.

又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，

|F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝＝.]

双曲线的标准方程

（1）（2017·

全国卷Ⅲ）已知双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为（　　）

A．－＝1　　B．－＝1

（2）（2018·

湖北调考）已知点A（－1,0），B（1,0）为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°

，则该双曲线的标准方程为（　　）

A．x2－＝1B．x2－＝1

C．x2－＝1D．x2－y2＝1

（1）B　

（2）D　[

（1）由y＝x可得＝.①

由椭圆＋＝1的焦点为（3,0），（－3,0），

可得a2＋b2＝9.②

由①②可得a2＝4，b2＝5.

所以C的方程为－＝1.

故选B．

（2）由题意知a＝1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°

.过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝，所以M（2，），代入双曲线方程得4－＝1，解得b＝1，所以双曲线的方程为x2－y2＝1，故选D．]

[规律方法]　求双曲线标准方程的主要方法

1定义法：

由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程.

2待定系数法：

即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.

[跟踪训练]　

（1）已知双曲线C：

－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2（5,0），则双曲线C的方程为（　　）

A．－＝1B．－＝1

（2）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．

（1）C　

（2）－＝1　[由焦点F2（5,0）知c＝5.

又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9.

所以双曲线C的标准方程为－＝1.

（2）由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1（－5,0），F2（5,0），设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.

由双曲线的定义知：

a＝4，b＝3.

故曲线C2的标准方程为－＝1，即－＝1.]

双曲线的几何性质

◎角度1　双曲线的离心率问题

　（2018·

长沙模拟

（二））已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝相切，则该双曲线的离心率为（　　）

C．D．3

A　[由双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝x，即bx－ay＝0与圆相切得＝＝，即c＝b，则c2＝3b2＝3（c2－a2），化简得c＝a，则该双曲线的离心率为e＝＝＝，故选A．]

◎角度2　双曲线的渐近线问题

合肥二检）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________．

x　[因为e＝＝，所以c2＝a2＋b2＝3a2，故b＝a，则此双曲线的渐近线方程为y＝±

x＝±

x.]

◎角度3　双曲线性质的综合应用

　（2017·

全国卷Ⅰ）已知F是双曲线C：

x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1,3），则△APF的面积为（　　）

D　[因为F是双曲线C：

x2－＝1的右焦点，所以F（2,0）．

因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为（2，yP）．

因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±

3，

所以P（2，±

3），|PF|＝3.

又因为A（1,3），所以点A到直线PF的距离为1，

所以S△APF＝×

|PF|×

1＝×

3×

1＝.

故选D．]

[规律方法]　与双曲线几何性质有关问题的解题策略

1求双曲线的离心率或范围.依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式或不等式，解方程或不等式即可求得.

2求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.

[跟踪训练]　

（1）（2017·

全国卷Ⅱ）若a>

1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是（　　）

A．（，＋∞）B．（，2）

C．（1，）D．（1,2）

（2）（2016·

全国卷Ⅰ）已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　）

A．（－1,3）B．（－1，）

C．（0,3）D．（0，）

（3）（2017·

武汉调研）双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________.

【79140295】

（1）C　

（2）A　（3）8　[

（1）由题意得双曲线的离心率e＝.

∴e2＝＝1＋.

∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，

∴1＜e＜.

故选C．

（2）若双曲线的焦点在x轴上，则

又∵（m2＋n）＋（3m2－n）＝4，∴m2＝1，∴

∴－1<

n<

3.

若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为

－＝1，即

即n>

3m2且n<

－m2，此时n不存在．故选A．

（3）因为e＝＝，所以c＝a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即ax－by＝0，焦点为（0，c），所以＝b＝3，所以a＝＝，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8.]