1、 (4) | k | 或2| k | 。 3模10的一个简化剩余系是 ( )。(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, (2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19, (4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。429模23的逆元是 ( )。(1) 2, (2) 4,(3) 6, (4) 11。5设 m1,m2是两个正整数,x1遍历模m1的完全剩余系,x2遍历模m2的完全剩余系,若( )遍历m1m2的完全剩余系。(1) (m1,m2)=1,则m1x1m2x2 (2) m1和m2是素数,则m1x1m2x2(3) (m
2、1,m2)=1,则m2x1m1x2 (4) m1和m2是素数,则m2x1m1x26下面的集合和运算构成群的是 ( ) 。(1) (N是自然数集,“”是加法运算)(2) (R是实数集,“”是乘法运算)(3) (Z是整数集,“”是加法运算)(4) (P(A)U | U是A的子集是集合A的幂集,“”是集合的交运算) 7下列各组数对任意整数n均互素的是 ( ) 。 (1) 3n+2与2n,(2) n1与n2n1,(3) 6n+2与7n, (4) 2n+1与4n+1。 8一次同余式234x 30(mod 198)的解数是 ( )。(1) 0, (2) 6,(3) 9, (4) 18。9Fermat定理:
3、设p是一个素数,则对任意整数a有 ( )。(1) a j (p)a (mod p), (2) a j (p)1 (mod a),(3) a p a (mod p), (4) a p1 (mod p)10集合F上定义了“”和“ ”两种运算。如果( ),则构成一个域。(1) F对于运算 “”和 “ ”构成环,运算“”的单位元是e,且Fe对于 “ ”构成交换群(2) F对于运算 “”构成交换群,单位元是e;Fe对于运算“ (3) F对于运算“”和运算“ ”都构成群(4) F对于运算“”构成交换群,单位元是e; ”构成交换群;运算 “”和 “ ”之间满足分配律二 填空题(按题目要求,将正确描述填在 上
4、):(每题2分,共20分)1设a, b是正整数,且有素因数分解 ,则(a, b) ,a, b 。2模5的3的剩余类C3(mod 5)写成模15的剩余类的并为:C3(mod 5) = 。 3 整数a,b满足(a,b)=1,那么对任意正整数n,都有(an, bn) =_。4120, 150, 210, 35的最小公倍数120, 150, 210, 35 = 。 5模8的绝对值最小完全剩余系是 。6设n是一个正整数,整数e满足1ej (n)且 ,则存在整数d,1dj (n),使得ed1 (mod j (n)。7Wilson定理:设p是一个素数,则 。8P(A)是集合A的幂集,“”为集合的对称差运算。
5、P(A)对于运算“”的单位元是 ,A的逆元是 。9设m,n是互素的两个正整数,则j ( m,n) = 。10设集合A有n个元素,则集合AA有_个元素,集合A上的不同运算有_种。三证明题 (写出详细证明过程,共4小题,30分)1(1) 证明:形如6k5的正整数必含6k5形式的素因数。(2) 证明:形如6k+5的素数有无穷多个。 (10分) 2设a, b是任意两个不全为零的整数,证明(1) 若m是任一正整数,则(am, bm) = (a, b)m。(2) 若非零整数d满足d|a,d|b,则。 (8分)3设m是正整数,ab (mod m),如果整数d满足d | (a, b , m),则有 。 (6分)4证明:如果m和n是互素的大于1的整数,则mj(n)nj(m) 1 (mod mn)。(6分)四计算题(写出详细计算过程,共2小题,30分)1设a8142,b11766,运用广义欧几里得除法(1) 计算(a, b); (2) 求整数s,t使得satb(a, b)。 (15分)2计算31000000 (mod 1771)。 (15分)信息安全数学基础试卷第 4 页 共 4 页
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