托勒密定理的三角函数证法李明 中国医科大学数学教研室 110001 0 定理的背景古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著数学汇编里给出并证明了一条关于圆内接四边形的引理，现称为托勒密定理（参见文献1），其内容是：圆内接四边形两组对边之积的和等于两条对角线之积，即（如图1）.对于托勒密定理的证明，数学学者们已经给出了多种方法，但大多数的方法都包含着一定难度的“引辅助线”技巧，如比较常用的“构造相似三角形”方法就是这样（参见文献2）.下文将借助三角函数这个强有力的数学工具来直接证明该定理，从而巧妙地绕过“引辅助线”等构造性障碍.1 定理的分析在图1中观察欲证等式两端的六条线段，它们显然都是某个圆内接三角形的边.所以，若设外接圆的直径为，并设边所对应的圆周角依次为，则由正弦定理得.逆向思维，欲证圆内接四边形边的恒等式，只需证三角恒等式，即证.2 定理的证明由图1，显然，于是两端乘以外接圆直径的平方，并结合正弦定理得，定理证毕.参考文献1 美莫里斯克莱因著，张理京、张锦炎、江泽涵译.古今数学思想M.上海：上海科学技术出版社，20022 苑建广.托勒密定理在解题中的应用J.中学数学教学参考(下半月初中),2007,12
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